Гипергеометрическая функция
-
Определение и свойства гипергеометрической функции
- Гипергеометрическая функция — это решение гипергеометрического дифференциального уравнения.
- Она имеет множество приложений в математике и физике, включая теорию чисел, теорию вероятностей и квантовую механику.
- Гипергеометрические функции могут быть выражены через специальные функции, такие как полиномы Гегенбауэра и многочлены Цернике.
-
Модульные функции и их связь с гипергеометрическими функциями
- Модульные функции связаны с гипергеометрическими функциями через модульную лямбда-функцию.
- j-инвариант и модульная функция являются рациональными функциями в модульной лямбда-функции.
-
Связь с неполными бета-функциями и эллиптическими интегралами
- Неполные бета-функции связаны с гипергеометрическими функциями через формулу.
- Полные эллиптические интегралы K и E также выражаются через гипергеометрические функции.
-
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение и его решения
- Гипергеометрическое дифференциальное уравнение имеет три правильные особые точки: 0, 1 и θ.
- Решения гипергеометрического дифференциального уравнения могут быть построены на основе гипергеометрического ряда.
- В каждой из трех особых точек существуют специальные решения, которые зависят от корней индикативного уравнения.
-
Особые случаи и решения при особых точках
- Решения в особых точках зависят от значений параметров a, b, c и z.
- Существуют различные специальные решения в зависимости от того, является ли c целым числом или нет.
- При z = 0 и z = 1 существуют два независимых решения, а при z = ∞ — два независимых решения, если a − b не является целым числом.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.