Оглавление [Скрыть]
Гомотопическая ассоциативная алгебра
-
Определение A∞-алгебр
- A∞-алгебры — это Z-градуированные векторные пространства с операциями m1, m2, …, mn.
- m1 соответствует цепному комплексному дифференциалу, m2 — карте умножения, а более высокие mn — мерам нарушения ассоциативности m2.
- В алгебре когомологий m2 должна быть ассоциативной картой.
-
Условия когерентности
- Условия когерентности легко записать для низких степеней.
- Для d=1 условие когерентности требует, чтобы m1 был дифференциалом.
- Для d=2 условие когерентности дает m2 как карту умножения.
- Для d=3 условие когерентности показывает, что m2 ассоциативна только до гомотопии.
- Для d≥4 условия когерентности дают множество различных терминов, объединяющих последовательности элементов.
-
Примеры и приложения
- Ассоциативные алгебры имеют A∞-структуру с m2 как умножением.
- Дифференциальные градуированные алгебры имеют каноническую A∞-структуру с m1 как дифференциалом и m2 как умножением.
- Коцепные алгебры H-пространств имеют каноническую A∞-структуру.
- Пример с бесконечно большим числом нетривиальных задач показывает, что даже простые алгебры могут иметь нетривиальную A∞-структуру.
-
Основные свойства A∞-алгебр
- A∞-алгебры обладают структурой, которая может быть перенесена на другие алгебраические объекты при наличии правильных гипотез.
- Существуют минимальные модели, определяемые как A∞-алгебры с нулевым дифференциальным отображением.
- Алгебра когомологий A∞-алгебры может быть снабжена A∞-структурой, уникальной с точностью до квазиизоморфизмов.
-
Приложения и теоремы
- A∞-структуры могут быть использованы для изучения дифференциальных градуированных алгебр и их приложений.
- Теорема Кадеишвили утверждает, что алгебра когомологий A∞-алгебры может быть канонически снабжена A∞-структурой.
- Существует связь между A∞-структурами на алгебре когомологий и продукцией Massey.
-
Восстановление алгебры из внешней алгебры
- Связная градуированная алгебра может быть восстановлена из своей внешней алгебры.
- Внешняя алгебра определяется как алгебра с умножением на произведение Йонеды.
- Существует A∞-квазиизоморфизм между исходной алгеброй и внешней алгеброй.
-
Дополнительные темы
- A∞-категории и их применение в алгебраической геометрии.
- Ассоциаэдр и гипотеза о зеркальной симметрии.
- Гомологическая зеркальная симметрия и гомотопическая алгебра Ли.
- Производная алгебраическая геометрия и её связь с A∞-алгебрами.