Оглавление
- 1 Гребень Дирака
- 1.1 Определение и свойства гребенки Дирака
- 1.2 Преобразование Фурье и периодизация
- 1.3 Идентичность и масштабирование
- 1.4 Ряд Фурье и сходимость
- 1.5 Применение в физике
- 1.6 Преобразование Фурье гребенки Дирака
- 1.7 Свойства гребенки Дирака
- 1.8 Выборка и наложение псевдонимов
- 1.9 Использование в направленной статистике
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Гребень Дирака – Arc.Ask3.Ru
Гребень Дирака
-
Определение и свойства гребенки Дирака
- Гребенка Дирака (функция sha) — периодическая функция с формулой ШT(t) = ∑k=−∞∞δ(t−kT).
- Гребенка Дирака и дельта-функция Дирака — темперированные распределения.
- График функции напоминает гребенку, отсюда и название.
-
Преобразование Фурье и периодизация
- Гребенка Дирака может быть представлена в виде ряда Фурье: ШT(t) = 1/T∑n=−∞∞e2πntT.
- Преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака.
- Гребенка Дирака позволяет моделировать выборку и периодизацию в непрерывном анализе Фурье.
-
Идентичность и масштабирование
- Гребенка Дирака может быть сконструирована как оператор comb или rep.
- Гребенка Дирака масштабируется как 1/T, где T — период.
-
Ряд Фурье и сходимость
- Гребенка Дирака является периодической с периодом T.
- Коэффициенты Фурье равны 1/T.
- Ряд Фурье гребенки Дирака сходится в смысле распределений.
-
Применение в физике
- “Квадратный корень” из гребенки Дирака используется в физике.
-
Преобразование Фурье гребенки Дирака
- Гребенка Дирака имеет период 2π/T и является пределом ядра Дирихле.
- При вычислении преобразования Фурье на kω0, выражение умножается на дельта-функцию.
- Интеграл ряда Фурье за один период дает 1/T для каждого k.
-
Свойства гребенки Дирака
- Гребенка Дирака преобразуется сама в себя при использовании свойства масштабирования дельта-функции.
- Гребенка Дирака является собственной функцией унитарного преобразования Фурье при T = 2π.
-
Выборка и наложение псевдонимов
- Умножение функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов.
- Свертка с гребенкой Дирака эквивалентна повторению или периодическому суммированию.
- Теорема Найквиста-Шеннона утверждает, что выборки с интервалами 1/2B достаточны для восстановления сигнала.
-
Использование в направленной статистике
- В направленной статистике гребенка Дирака эквивалентна обернутой дельта-функции Дирака.
- Интеграл от произведения гребенки Дирака на произвольную функцию по единичной окружности дает нулевое значение.