Группа трехмерного вращения

• Определение и свойства группы SO(3)

  • SO(3) — это группа вращений трехмерного пространства, состоящая из всех ортогональных матриц с определителем +1. 
  • Группа SO(3) имеет три фундаментальных оси вращения и три фундаментальных угла Эйлера. 
  • Группа SO(3) является компактной и простой группой Ли, а также имеет три независимых элемента Казимира. 

• Универсальное покрытие SO(3)

  • Группа SO(3) может быть представлена как универсальное покрытие группы SU(2), которая является группой вращений в комплексной плоскости. 
  • Преобразования Мебиуса являются билинейными преобразованиями, которые генерируют все вращения SO(3). 
  • Преобразования Мебиуса могут быть выражены через матрицы, и каждая матрица соответствует двум унитарным элементам в SU(2). 

• Алгебра Ли SO(3)

  • Алгебра Ли SO(3) состоит из кососимметрических матриц и изоморфна алгебре Ли трехмерного векторного пространства. 
  • Вектор Эйлера может быть использован для идентификации элементов алгебры Ли SO(3). 
  • Алгебра Ли SO(3) обладает свойством, что ее скобки соответствуют перекрестному произведению в трехмерном векторном пространстве. 

• Инвариант Казимира

  • Группа SO(3) имеет единственный независимый элемент Казимира, который является суммой квадратов трех образующих. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.