Оглавление
Группа трехмерного вращения
-
Определение и свойства группы SO(3)
- SO(3) – это группа вращений трехмерного пространства, состоящая из всех ортогональных матриц с определителем +1.
- Группа SO(3) имеет три фундаментальных оси вращения и три фундаментальных угла Эйлера.
- Группа SO(3) является компактной и простой группой Ли, а также имеет три независимых элемента Казимира.
-
Универсальное покрытие SO(3)
- Группа SO(3) может быть представлена как универсальное покрытие группы SU(2), которая является группой вращений в комплексной плоскости.
- Преобразования Мебиуса являются билинейными преобразованиями, которые генерируют все вращения SO(3).
- Преобразования Мебиуса могут быть выражены через матрицы, и каждая матрица соответствует двум унитарным элементам в SU(2).
-
Алгебра Ли SO(3)
- Алгебра Ли SO(3) состоит из кососимметрических матриц и изоморфна алгебре Ли трехмерного векторного пространства.
- Вектор Эйлера может быть использован для идентификации элементов алгебры Ли SO(3).
- Алгебра Ли SO(3) обладает свойством, что ее скобки соответствуют перекрестному произведению в трехмерном векторном пространстве.
-
Инвариант Казимира
- Группа SO(3) имеет единственный независимый элемент Казимира, который является суммой квадратов трех образующих.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: