Сопоставление группы классов

• Определение и свойства групп классов отображения

  • Группа классов отображения X — это группа гомотопических классов гомотопических эквивалентностей X. 
  • Группа классов отображения является фундаментальной для изучения топологических пространств и их гомотопических свойств. 

• Примеры и классификация

  • Сфера соответствует картам степени ±1, тор — это пространство Эйленберга-Маклейна, а группы поверхностей имеют множество применений в теории трехмерных многообразий. 
  • Неориентируемые поверхности имеют простые представления, а группы классов отображения 3-многообразий тесно связаны с группами классов отображения 2-многообразий. 

• Индуцированные действия и гомологии

  • Группа классов отображения действует на гомологии, и ее ядро — это группа Торелли. 
  • Для тора отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль. 

• Стабильная группа классов отображения

  • Прямая сумма групп классов отображения поверхностей дает устойчивую группу классов отображения. 
  • Интегральное кольцо когомологий было вычислено, подтверждая гипотезы Мамфорда.