Оглавление
- 1 Составной
- 1.1 История интеграла
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 История интегрирования
- 1.4 Развитие в 17 веке
- 1.5 Формализация и обозначения
- 1.6 Терминология и обозначения
- 1.7 Определение интеграла
- 1.8 Расширения обозначения интегралов
- 1.9 Интерпретации интегралов
- 1.10 Формальные определения интегралов
- 1.11 Интеграл Римана
- 1.12 Интеграл Лебега
- 1.13 Другие интегралы
- 1.14 Свойства интегралов
- 1.15 Основные понятия интеграла
- 1.16 Неравенства для интегрируемых функций
- 1.17 Произведения и абсолютные значения функций
- 1.18 Неравенства Гельдера и Минковского
- 1.19 Конвенции и фундаментальная теорема
- 1.20 Расширения интеграла
- 1.21 Линейные интегралы
- 1.22 Поверхностные интегралы
- 1.23 Контурные интегралы
- 1.24 Интегралы дифференциальных форм
- 1.25 Функциональные интегралы
- 1.26 Приложения интегралов
- 1.27 Вычисление интегралов
- 1.28 Символическая интеграция
- 1.29 Алгоритм Риша и специальные функции
- 1.30 D-конечные функции и интегралы
- 1.31 Интеграционные системы и методы
- 1.32 Численные методы интегрирования
- 1.33 Механические и геометрические методы
- 1.34 Интеграция через дифференциацию
- 1.35 Примеры и рекомендации
- 1.36 Полный текст статьи:
- 2 Интеграл – Arc.Ask3.Ru
Составной
-
История интеграла
- Интеграл — непрерывный аналог суммы, используемый для вычисления площадей и объемов.
- Интегрирование и дифференцирование — фундаментальные операции математического анализа.
- Интегралы использовались для решения задач математики и физики.
-
Основные понятия
- Определенный интеграл вычисляет площадь области на плоскости, ограниченной графиком функции.
- Неопределенный интеграл — интеграл от первообразной функции.
- Фундаментальная теорема связывает интегрирование с дифференцированием.
-
История интегрирования
- Метод исчерпания использовался Евдоксом и Демокритом.
- Архимед и китайские математики развили метод для вычисления площадей и объемов.
- Альхазен вывел формулу для суммы четвертых степеней.
-
Развитие в 17 веке
- Кавальери и Ферма заложили основы современного математического анализа.
- Барроу и Торричелли указали на связь между интеграцией и дифференциацией.
- Лейбниц и Ньютон независимо открыли фундаментальную теорему математического анализа.
-
Формализация и обозначения
- Риман дал строгое определение интегралов.
- Лебег ввел интеграл Лебега, более общий, чем формула Римана.
- Лейбниц ввел символ интеграла ∫.
- Современное обозначение определенного интеграла с пределами выше и ниже знака интеграла ввел Жозеф Фурье.
-
Терминология и обозначения
- Интеграл от вещественнозначной функции f(x) записывается как ∫ f(x) dx.
- Функция f(x) называется подынтегральной, точки a и b — пределами интегрирования.
- Функция называется интегрируемой, если ее интеграл по своей области конечен.
-
Определение интеграла
- Интеграл называется неопределенным интегралом, представляющим класс функций, производной которых является подынтегральное выражение.
- Фундаментальная теорема математического анализа связывает вычисление определенных интегралов с неопределенными интегралами.
-
Расширения обозначения интегралов
- Существуют расширения обозначения интегралов, охватывающие интегрирование в неограниченных областях и/или в нескольких измерениях.
- В расширенных настройках не учитывается значение dx, когда используется только простой интеграл Римана или точный тип интеграла не имеет значения.
-
Интерпретации интегралов
- Интегралы встречаются в практических ситуациях, таких как определение объема воды в бассейне или площади области, ограниченной графиком функции.
- Интегралы позволяют находить точные значения величин, разбивая их на бесконечно малые части и суммируя их.
-
Формальные определения интегралов
- Существует множество способов формального определения интеграла, но не все из них эквивалентны.
- Наиболее часто используемыми определениями являются интегралы Римана и Лебега.
-
Интеграл Римана
- Определяется в терминах римановых сумм функций относительно помеченных разбиений интервала.
- Сумма Римана функции f относительно помеченного разбиения определяется как площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выбранной точке, и шириной, равной ширине подинтервала.
- Интеграл Римана от функции f на интервале [a, b] равен S, если:
-
Интеграл Лебега
- Использует принцип “разделения диапазона f” для расширения класса интегрируемых функций.
- Интеграл Лебега определяется как сумма по t площадей между тонкой горизонтальной полосой между y = t и y = t + dt.
- Интеграл Лебега от f определяется как:
-
Другие интегралы
- Интеграл Дарбу, интеграл Римана–Стилтьеса, интеграл Лебега–Стилтьеса, интеграл Даниэля, интеграл Хаара, интеграл Хенстока–Курцвейла, интеграл Хинчина, интеграл Ито и интеграл Стратоновича, интеграл Юнга, интеграл по грубому пути, интеграл Шоке, интеграл Бохнера.
-
Свойства интегралов
- Линейность: совокупность интегрируемых функций образует векторное пространство, а интеграл является линейным функционалом.
- Интеграл Лебега также является линейным функционалом в векторном пространстве измеримых функций.
-
Основные понятия интеграла
- Интеграл определяется как предел суммы функций на замкнутом интервале.
- Интеграл может быть определен для функций на множестве X, обобщенном Бурбаки.
- Интеграл может быть использован для получения альтернативного определения интеграла.
-
Неравенства для интегрируемых функций
- Интегрируемая функция ограничена интервалом интегрирования.
- Интеграл от функции f на [a, b] ограничен m(b-a) ≤ ∫a^b f(x)dx ≤ M(b-a).
- Если f(x) ≤ g(x), то ∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx.
- Если f(x) < g(x), то ∫a^b f(x)dx < ∫a^b g(x)dx.
-
Произведения и абсолютные значения функций
- Интеграл от произведения функций f и g ограничен интегралом от f и g.
- Интеграл от абсолютного значения функции ограничен интегралом от модуля функции.
- Интеграл от квадрата функции ограничен интегралом от квадрата модуля функции.
-
Неравенства Гельдера и Минковского
- Интеграл от произведения функций f и g ограничен интегралом от |f|p и |g|q.
- Интеграл от суммы функций f и g ограничен интегралом от |f|p и |g|p.
-
Конвенции и фундаментальная теорема
- Интеграл определяется для функций на интервале [a, b], если a < b.
- Интеграл равен нулю для вырожденных интервалов и точек.
- Фундаментальная теорема математического анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями.
-
Расширения интеграла
- Неправильные интегралы возникают при нарушении условий интегрируемости.
- Двойной интеграл представляет собой объем области под графиком функции.
- Линейные и поверхностные интегралы используются в физике и геометрии.
-
Линейные интегралы
- Интегрируемая функция может быть скалярным или векторным полем
- Значение линейного интеграла – сумма значений поля на кривой, взвешенная по длине дуги или скалярному произведению
- Примеры: работа силы, поток жидкости
-
Поверхностные интегралы
- Значение поверхностного интеграла – сумма полей на поверхности
- Пример: поток жидкости через поверхность
-
Контурные интегралы
- Интегрируемая функция – комплекснозначная функция комплексной переменной
- Интеграл по контуру обозначается как интеграл по комплексной плоскости
-
Интегралы дифференциальных форм
- Дифференциальные формы организованы по степеням
- Интегрирование дифференциальных форм эквивалентно линейным интегралам
- Примеры: поток жидкости через поверхность, работа силы
-
Функциональные интегралы
- Интегрирование по пространству функций
- Примеры: вероятность попадания случайной величины в диапазон, площадь двумерной области
-
Приложения интегралов
- Теория вероятностей: вероятность попадания случайной величины
- Вычисление площади и объема
- Физика: кинематика, термодинамика
-
Вычисление интегралов
- Аналитический метод: фундаментальная теорема математического анализа
- Методы: подстановка, интегрирование по частям, тригонометрическая подстановка
- Символический метод: системы компьютерной алгебры, алгоритм Риша
-
Символическая интеграция
- Основная трудность: отсутствие замкнутых выражений первообразных
- Системы компьютерной алгебры: Macsyma, Maple
- Алгоритм Риша: определение элементарности первообразной
-
Алгоритм Риша и специальные функции
- Алгоритм Риша используется для функций и первообразных, построенных из рациональных, радикалов, логарифмов и экспоненциальных функций.
- Специальные функции, такие как функции Лежандра и гамма-функция, могут быть полезны для специальных подынтегральных выражений.
- Расширение алгоритма Риша для включения специальных функций является сложной задачей.
-
D-конечные функции и интегралы
- D-конечные функции являются решениями линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами.
- Интеграл от D-конечной функции также является D-конечной функцией, что обеспечивает алгоритм для выражения первообразной.
- Теория позволяет вычислить определенный интеграл от D-функции как сумму ряда и предоставляет алгоритм для вычисления коэффициентов.
-
Интеграционные системы и методы
- Интеграционные системы, основанные на правилах, облегчают интеграцию.
- Rubi использует более 6600 правил интегрирования для вычисления интегралов.
- Метод скобок обобщает основную теорему Рамануджана и может быть применен к одномерным и многомерным интегралам.
-
Численные методы интегрирования
- Определенные интегралы могут быть аппроксимированы методами численного интегрирования.
- Метод прямоугольника основан на разделении области под функцией на прямоугольники.
- Правило трапеции заменяет прямоугольники трапециями для лучшего приближения.
- Правило Симпсона аппроксимирует подынтегральное выражение кусочно-квадратичной функцией.
- Квадратурные правила Ньютона–Котса аппроксимируют многочлен на каждом подинтервале.
- Метод Ромберга постепенно уменьшает ширину шага для получения приближений.
- Гауссова квадратура вычисляет функцию в корнях ортогональных многочленов.
-
Механические и геометрические методы
- Площадь двумерной формы можно определить с помощью планиметра.
- Объем объектов неправильной формы можно измерить с помощью жидкости.
- Площадь иногда можно определить с помощью геометрических построений.
-
Интеграция через дифференциацию
- Кемпф, Джексон и Моралес предложили метод вычисления интеграла через дифференцирование.
- Метод включает дельта-функцию Дирака и оператор частной производной.
-
Примеры и рекомендации
- Фундаментальная теорема математического анализа позволяет вычислять основные функции.
- В статье упоминаются книги и онлайн-ресурсы для изучения интегралов и численных методов.