Интегральная область
-
Определение интегральной области
- Интегральная область — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов отлично от нуля.
- Интегральные области обобщают кольцо целых чисел и обеспечивают естественную среду для изучения делимости.
- Каждый ненулевой элемент a обладает свойством отмены, то есть ab = ac подразумевает b = c.
-
Примеры интегральных областей
- Кольцо целых чисел Z является интегральной областью.
- Каждое поле является интегральной областью, включая R.
- Кольца многочленов с целыми коэффициентами также являются интегральными областями.
- Кольца формальных степенных рядов и голоморфных функций также являются интегральными областями.
-
Не являющиеся примерами интегральных областей
- Нулевое кольцо и частное кольцо Z/mZ не являются интегральными областями.
- Произведение двух ненулевых коммутативных колец не является интегральной областью.
- Частное кольцо Z[x]/(x2-n2) не является интегральной областью для любого n.
- Кольцо из n × n матриц над любым ненулевым кольцом не является интегральной областью при n ≥ 2.
- Частное кольцо k[x1, …, xn]/(fg) не является интегральной областью для любых непостоянных многочленов f и g.
- Кольцо непрерывных функций на единичном интервале не является интегральной областью.
- Тензорное произведение C⊗RC не является интегральной областью из-за наличия двух нетривиальных идемпотентов.
-
Делимость, простые элементы и неприводимые элементы
- В интегральной области a делит b, если существует элемент x, такой что ax = b.
- Единицы измерения — это элементы, которые делят 1.
- Неприводимый элемент — это ненулевая неединица, которая не может быть записана как произведение двух неединиц.
- Простой элемент — это ненулевое значение, отличное от единицы, которое делит произведение ab тогда и только тогда, когда оно делит a или b.
- Каждый простой элемент неприводим, но обратное неверно.
-
Неприводимость и простота
- В Z[√-5] элемент 3 является неприводимым, но не простым.
- В уникальной области факторизации неприводимый элемент является простым.
-
Уникальная факторизация идеалов
- В Z[√-5] существует уникальная факторизация идеалов.
- Теорема Ласкера–Нетер описывает свойства интегральных областей.
-
Свойства интегральных областей
- Интегральная область равна пересечению ее локализаций в максимальных идеалах.
- Индуктивный предел целых областей является интегральной областью.
- Интегральные области редуцируемы и неприводимы.
-
Поле дробей
- Поле дробей интегральной области представляет собой набор дробей по модулю отношения эквивалентности.
- Поле дробей кольца целых чисел Z является полем рациональных чисел Q.
-
Алгебраическая геометрия
- Интегральные области характеризуются редуцируемостью и неприводимостью.
- Координатное кольцо аффинного алгебраического множества является интегральной областью тогда и только тогда, когда множество является алгебраическим многообразием.
-
Характеристика и гомоморфизмы
- Характеристикой интегральной области является либо 0, либо простое число.
- Эндоморфизм Фробениуса x ∈ xp инъективен для интегральных областей простой характеристики p.