Инвариантный базисный номер

• Определение и свойства инвариантного базисного числа

  • Кольцо R обладает свойством IBN, если все конечно порожденные свободные левые модули имеют четко определенный ранг. 
  • В случае полей свойство IBN эквивалентно утверждению о том, что конечномерные векторные пространства имеют уникальную размерность. 
  • Эквивалентно, это означает, что не существует различных натуральных чисел m и n, таких, что Rm изоморфно Rn. 
  • Ранг свободного модуля Rn над кольцом IBN R определяется как мощность показателя степени m любого R-модуля Rm, изоморфного Rn. 

• Примеры и не-IBN-кольца

  • Полевые кольца удовлетворяют IBN, что означает, что конечномерные векторные пространства имеют четко определенную размерность. 
  • Коммутативные кольца, лево-нетеровы кольца и полулокальные кольца также удовлетворяют IBN. 
  • Кольцо конечных матриц столбцов не удовлетворяет IBN, так как оно не имеет уникального ранга для всех изоморфизмов. 

• Другие результаты и рекомендации

  • IBN является необходимым условием для вложения кольца без нулевых делителей в кольцо деления. 
  • Каждое нетривиальное кольцо деления или стабильно конечное кольцо имеет инвариантный базисный номер. 
  • Каждое кольцо, удовлетворяющее условию ранга, должно иметь инвариантный базисный номер.