Алгебра категорий

• Определение алгебры категорий

  • Алгебра категорий — это ассоциативная алгебра, определенная для локально конечной категории и коммутативного кольца с единицей. 
  • Обобщает понятия групповых алгебр и алгебр инцидентности. 

• Определение в стиле групповой алгебры

  • Для группы G и кольца R строится групповая алгебра RG как R-модуль с умножением. 
  • Категория C с морфизмами C определяет алгебру RC как свободный R-модуль с морфизмами C в качестве основы. 
  • Умножение в RC определяется как свертка, где сумма конечна из-за конечности категории C. 

• Определение в стиле алгебры инцидентности

  • Для локально конечной категории C алгебра RC допускает ненулевые коэффициенты. 
  • Умножение определяется как свертка, сумма в которой всегда конечна. 
  • Двойственный модуль F (C) является пространством отображений от морфизмов C до R и имеет структуру коалгебры. 

• Примеры

  • Групповая алгебра RC для группы G, моноидное кольцо RC для моноида, алгебра инцидентности для частично упорядоченного множества. 
  • Матричное кольцо RC для полного графа, кольцо функций для дискретной категории. 
  • Различие между «стилем групповой алгебры» и «стилем алгебры инцидентности» для бесконечных категорий. 

• Рекомендации и дальнейшее чтение

  • Статья содержит ссылки на литературу и рекомендации по алгебре Мебиуса и кольцу Гротендика.