Алгебра категорий
-
Определение алгебры категорий
- Алгебра категорий — это ассоциативная алгебра, определенная для локально конечной категории и коммутативного кольца с единицей.
- Обобщает понятия групповых алгебр и алгебр инцидентности.
-
Определение в стиле групповой алгебры
- Для группы G и кольца R строится групповая алгебра RG как R-модуль с умножением.
- Категория C с морфизмами C определяет алгебру RC как свободный R-модуль с морфизмами C в качестве основы.
- Умножение в RC определяется как свертка, где сумма конечна из-за конечности категории C.
-
Определение в стиле алгебры инцидентности
- Для локально конечной категории C алгебра RC допускает ненулевые коэффициенты.
- Умножение определяется как свертка, сумма в которой всегда конечна.
- Двойственный модуль F (C) является пространством отображений от морфизмов C до R и имеет структуру коалгебры.
-
Примеры
- Групповая алгебра RC для группы G, моноидное кольцо RC для моноида, алгебра инцидентности для частично упорядоченного множества.
- Матричное кольцо RC для полного графа, кольцо функций для дискретной категории.
- Различие между «стилем групповой алгебры» и «стилем алгебры инцидентности» для бесконечных категорий.
-
Рекомендации и дальнейшее чтение
- Статья содержит ссылки на литературу и рекомендации по алгебре Мебиуса и кольцу Гротендика.