Оглавление
Категория добавок
-
Определение и свойства аддитивных категорий
- Аддитивная категория – это категория, в которой все конечные продукты и сопутствующие продукты существуют.
- Аддитивные категории обогащают моноидальные категории, добавляя аддитивные инверсии к морфизмам.
- Примеры аддитивных категорий включают категории абелевых групп и векторных пространств над полем.
-
Внутренняя характеристика закона сложения
- В полуаддитивной категории каждое гомомножество имеет абелеву моноидальную структуру с билинейной композицией морфизмов.
- Аддитивность категории означает, что два дополнения к гомо-множествам совпадают.
- Закон сложения в аддитивной категории является внутренним и определяется через диагональные и кодиагональные морфизмы.
-
Матричное представление морфизмов
- Морфизмы в аддитивной категории могут быть представлены в виде матриц над кольцом.
- Категория матриц над кольцом является аддитивной категорией, где An представляет собой n-кратное произведение объекта A.
- Категория Mat(R) является подкатегорией категории левых модулей над кольцом R.
-
Аддитивные функторы
- Аддитивный функтор сохраняет все диаграммы двухпродуктов и является гомоморфизмом абелевой группы.
- Большинство функторов между аддитивными категориями являются аддитивными.
-
Особые случаи
- Доабелева категория – это аддитивная категория с ядрами и сопутствующими ядрами.
- Абелева категория – это доабелева категория с нормальными мономорфизмами и эпиморфизмами.
- Свободные абелевы группы являются примером аддитивной категории, которая не является абелевой.
Полный текст статьи: