Категория добавок

• Определение и свойства аддитивных категорий

  • Аддитивная категория — это категория, в которой все конечные продукты и сопутствующие продукты существуют. 
  • Аддитивные категории обогащают моноидальные категории, добавляя аддитивные инверсии к морфизмам. 
  • Примеры аддитивных категорий включают категории абелевых групп и векторных пространств над полем. 

• Внутренняя характеристика закона сложения

  • В полуаддитивной категории каждое гомомножество имеет абелеву моноидальную структуру с билинейной композицией морфизмов. 
  • Аддитивность категории означает, что два дополнения к гомо-множествам совпадают. 
  • Закон сложения в аддитивной категории является внутренним и определяется через диагональные и кодиагональные морфизмы. 

• Матричное представление морфизмов

  • Морфизмы в аддитивной категории могут быть представлены в виде матриц над кольцом. 
  • Категория матриц над кольцом является аддитивной категорией, где An представляет собой n-кратное произведение объекта A. 
  • Категория Mat(R) является подкатегорией категории левых модулей над кольцом R. 

• Аддитивные функторы

  • Аддитивный функтор сохраняет все диаграммы двухпродуктов и является гомоморфизмом абелевой группы. 
  • Большинство функторов между аддитивными категориями являются аддитивными. 

• Особые случаи

  • Доабелева категория — это аддитивная категория с ядрами и сопутствующими ядрами. 
  • Абелева категория — это доабелева категория с нормальными мономорфизмами и эпиморфизмами. 
  • Свободные абелевы группы являются примером аддитивной категории, которая не является абелевой.