Категория функторов

• Основы теории категорий

  • Категория — это множество объектов с набором морфизмов между ними. 
  • Морфизмы могут быть отображены в другие категории. 
  • Примеры категорий включают множества, группы, кольца и топологические пространства. 

• Функторы и категории функторов

  • Функтор — это отображение морфизмов между категориями. 
  • Категория функторов — это категория, в которой функторы являются объектами. 
  • Примеры включают категории множеств, групп, колец и топологических пространств. 

• Примеры категорий функторов

  • Категория множеств: функторы отображают множества в множества. 
  • Категория групп: функторы отображают группы в группы. 
  • Категория колец: функторы отображают кольца в кольца. 
  • Категория топологических пространств: функторы отображают топологические пространства в топологические пространства. 

• Свойства функторов

  • Функторы сохраняют основные операции категорий, такие как произведение и ядро. 
  • Категория функторов разделяет многие свойства исходной категории, такие как полнота и абелева категория. 

• Лемма Йонеды

  • Лемма Йонеды позволяет внедрить категорию в категорию функторов. 
  • Это приводит к полному внедрению исходной категории в категорию функторов. 

• Интуиция и формализация

  • Функторы могут быть подняты до категории функторов, что позволяет выполнять операции в исходной категории. 
  • Категория функторов обладает всеми формальными свойствами экспоненциального объекта. 

• Категория

  • Кошка 
  • {\displaystyle {\textbf {Cat}}} 
  • Категория 
  • является декартовой замкнутой категорией.