Оглавление
Когомологии алгебры Ли
-
Когомологии алгебры Ли
- Теория когомологий для алгебр Ли, введенная Эли Картаном в 1929 году.
- Расширена Клодом Шевалле и Сэмюэлем Эйленбергом в 1948 году.
-
Мотивация
- Когомологии алгебры Ли используются для вычисления когомологий групп Ли.
- Процесс усреднения используется для перехода от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм.
-
Определение
- Когомологии алгебры Ли определяются как правые производные функторы от левого точного инвариантного функтора подмодуля.
- Гомологии алгебры Ли определяются как левые производные функторы правого точного коинвариантного функтора.
-
Комплекс Шевалле–Эйленберга
- Элементы комплекса Шевалле–Эйленберга называются коцепями из алгебры Ли к модулю.
- Дифференциал Шевалле–Эйленберга удовлетворяет условию нильпотентности и является уникальным выводом.
-
Когомологии в малых измерениях
- Нулевая группа когомологий – это инварианты алгебры Ли, действующие на модуль.
- Первая группа когомологий – это пространственный идентификатор дифференцирований по модулю пространственного идентификатора внутренних дифференцирований.
- Вторая группа когомологий – это пространство классов эквивалентности расширений алгебры Ли по модулю.
-
Примеры
- При M = R комплекс Шевалле–Эйленберга совпадает с комплексом де Рама для компактной группы Ли.
- Нулевая группа когомологий тривиальна, если [g, g] = g.
- Первая группа когомологий тривиальна для абелевых алгебр Ли.
-
Вторые когомологии
- Вторая группа когомологий – это пространство классов эквивалентности центральных расширений
- Конечномерные простые алгебры Ли имеют только тривиальные центральные расширения
-
Когомологии на сопряженном модуле
- Когда M = g, действие является сопряженным действием
- Нулевая группа когомологий является центром z(g)
-
Первые когомологии
- Внутренние производные задаются с помощью Dx = xy = [x, y] = −ad(y)x
- Они в точности соответствуют образу ad: g → End(g)
- Первая группа когомологий – это пространство внешних производных