Компактный элемент

• Определение компактности в теории порядка

  • Компактные элементы — это элементы, которые не могут быть включены в верхнюю часть непустого ориентированного множества без элементов над ними. 
  • Понятие компактности обобщает понятия конечных множеств, компактных множеств и конечно порожденных модулей. 

• Формальное определение

  • Элемент c является компактным, если для каждого направленного подмножества D и идеала I, если c ≤ sup D и c ≤ sup I, то c ≤ d для некоторого элемента d из D или c ∈ I. 
  • В случае соединительной полурешетки эти условия эквивалентны утверждению, что для каждого подмножества S, если c ≤ sup S, то c ≤ sup T для некоторого конечного подмножества T из S. 

• Примеры

  • В степенном множестве множества A, упорядоченного по включению подмножества, компактные элементы являются конечными подмножествами. 
  • В топологии компактность означает, что для каждой совокупности открытых множеств, если объединение над S включает Y, то Y включается в объединение конечной подколлекции S. 
  • В алгебраических последовательностях каждый элемент является вершиной направленного множества компактных элементов. 

• Приложения

  • Компактные элементы важны в информатике для семантического подхода в теории предметной области, где они представляют собой примитивный элемент информации. 
  • Компактные элементы не могут быть аппроксимированы элементами, расположенными строго под ними, и могут быть использованы для уменьшения исходного набора позиций. 

• Литература

  • Для дополнительной информации рекомендуется обратиться к литературе по теории порядка и теории предметной области.