Контакт (математика)
-
Определение контакта
- Две функции имеют контакт порядка k, если в точке P они имеют одинаковое значение и их первые k производных равны.
- Это отношение эквивалентности, классы которого называются реактивными двигателями.
- Точка соприкосновения также называется двойным острием.
-
Геометрическое понятие контакта
- Контакт можно определить алгебраически как оценку.
- Кривые и геометрические объекты могут иметь контакт k-го порядка в точке, что называется соприкосновением.
- Соприкасающаяся кривая из семейства кривых имеет максимально возможный порядок соприкосновения с данной кривой.
-
Приложения контакта
- Контактные формы — это особые дифференциальные формы степени 1 на нечетных размерных многообразиях.
- Контактные преобразования важны в классической механике.
- Контакт между многообразиями изучается в теории сингулярностей.
-
Контакт между кривыми
- Две кривые на плоскости, пересекающиеся в точке p, имеют контакт 0-го порядка, если просто пересекаются.
- Контакт 1-го порядка, если кривые касаются друг друга.
- Контакт 2-го порядка, если кривизны кривых равны.
- Контакт 3-го порядка, если производные кривизны равны.
- Контакт 4-го порядка, если вторые производные кривизны равны.
-
Контакт между кривой и окружностью
- Для каждой точки S(t) на кривой S существует соприкасающаяся окружность с радиусом, обратно равным кривизне S.
- В точке перегиба кривой соприкасающаяся окружность представляет собой прямую линию.
- Расположение центров всех соприкасающихся окружностей представляет эволюцию кривой.
- Если производная кривизны равна нулю, соприкасающаяся окружность имеет контакт 3-го порядка.
- Знак второй производной кривизны определяет локальный минимум или максимум кривизны.
- Замкнутые кривые имеют по крайней мере четыре вершины, два минимума и два максимума.
- Контакт 4-го порядка возможен в семействе кривых с 1 параметром, где две вершины сходятся и аннигилируют.
- Окружности, имеющие двухточечный контакт с двумя точками на кривой, называются двутавровыми окружностями.
- Центры всех двутавровых окружностей образуют набор симметрий.