Кристаллографическая теорема об ограничении
-
Кристаллографическая теорема об ограничении
- Вращательная симметрия кристаллов ограничена 2-кратной, 3-кратной, 4-кратной и 6-кратной.
- Квазикристаллы могут иметь пятикратную симметрию.
-
Моделирование кристаллов
- Кристаллы моделируются как дискретные решетки.
- Дискретность требует конечной группы вращательных симметрий.
-
Доказательство теоремы
- В 2D и 3D симметрия вращения должна создавать правильный многоугольник.
- 8-кратная симметрия невозможна из-за увеличения многоугольника.
- 5-кратная симметрия также невозможна из-за уменьшения многоугольника.
-
Существование квазикристаллов
- Квазикристаллы могут иметь 5-кратную симметрию, но не дискретную решетку.
- Мозаики Пенроуза могут иметь 5-кратную симметрию, но не линейное перемещение.
-
Доказательство по тригонометрии
- Вращение вокруг точки решетки создает правильный многоугольник.
- Единственные допустимые повороты соответствуют 1-, 2-, 3-, 4-, и 6-кратной симметрии.
-
Матричное доказательство
- След матрицы вращения является инвариантом подобия.
- Единственные допустимые углы поворота соответствуют 1-, 2-, 3-, 4-, и 6-кратной симметрии.
-
Ограничения для более высоких измерений
- В 4D и выше повороты могут быть не плоскими.
- Ограничения на симметрии сохраняются, но допускаются более высокие порядки.
-
Целочисленные матрицы
- Матрица A имеет порядок k, если ее k-я степень равна единице.
- Кристаллографическое ограничение гласит, что OrdN состоит из натуральных чисел m, где θ(m) ≤ N.
-
Двумерные ограничения в плоскости
- Срезы для моделирования квазикристаллов имеют толщину.
- Целочисленные матрицы не ограничиваются вращениями, включая отражения.
- Детерминант +1 ограничивает матрицы правильными поворотами.
-
Формулировка в терминах изометрий
- Кристаллографическая теорема об ограничении формулируется в терминах изометрий евклидова пространства.
- Изометрии порядка n включают n-кратные повороты, но не ограничиваются ими.
- Теорема исключает S8, S12, D4d и D6d, хотя они обладают 4- и 6-кратной симметрией вращения.
-
Ограничения в четырех- и пятимерном пространстве
- Для каждой дискретной группы изометрий в четырех- и пятимерном пространстве, включающей перемещения, охватывающие все пространство, все изометрии конечного порядка имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, или 12.
-
Ограничения в шести- и семимерном пространстве
- Все изометрии конечного порядка в шести- и семимерном пространстве имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 или 30.