Оглавление
Матрица Хассе–Витта
-
Определение матрицы Хассе–Витта
- Матрица Хассе–Витта H неособой алгебраической кривой C над конечным полем F является матрицей отображения Фробениуса.
- Это матрица g × g, где C имеет род g.
- Ранг матрицы Хассе–Витта является инвариантом Хассе или Хассе–Витта.
-
Подход к определению
- Определение принадлежит Гельмуту Хассе и Эрнсту Витту (1936).
- Это решение вопроса о p-ранге якобиева многообразия J из C.
- p-ранг ограничен рангом H, который является рангом отображения Фробениуса, составленного само с собой g раз.
-
Интерпретация когомологий
- Отображение p-степени действует на первые когомологии C с коэффициентами в его структурном пучке.
- Это называется Cartier–Manin operator.
- Связь с определением Хассе–Витта осуществляется через двойственность Серра.
-
Абелевы многообразия и их p-ранг
- p-ранг абелева многообразия A над полем K характеристики p – это целое число k, для которого ядро A [p] умножения на p имеет pk точек.
- p-ранг ниже, чем для других простых чисел, из-за неразрывной изогении умножения на p.
- Ранг оператора Картье–Манена дает верхнюю границу для p-ранга.
-
Случай рода 1
- Для эллиптических кривых H может быть нулевым или ненулевым, что соответствует суперсингулярному или обычному случаю.
- H соответствует по модулю p числу N точек на C над F.
- Знание N по модулю p определяет N для p ≥ 5.
- Для плоской кривой инвариант Хассе равен нулю тогда и только тогда, когда коэффициент (XYZ)p−1 в fp−1 равен нулю.