Оглавление
- 1 Матрицы Паули
- 1.1 Матрицы Паули
- 1.2 Свойства матриц Паули
- 1.3 Алгебраические свойства
- 1.4 Коммутационные и антикоммутационные соотношения
- 1.5 Векторы Паули
- 1.6 Соотношение полноты
- 1.7 Определяющий фактор
- 1.8 Перекрестный продукт
- 1.9 Собственные значения и векторы
- 1.10 Собственные значения и собственные векторы
- 1.11 4-вектор Паули
- 1.12 Коммутационные и антикоммутационные соотношения
- 1.13 Экспонента вектора Паули
- 1.14 Закон группового состава SU(2)
- 1.15 Закон косинусов и параметры вращения
- 1.16 Композитные параметры вращения
- 1.17 Адъюнктное действие
- 1.18 Полнота и блоховская сфера
- 1.19 Связь с перестановкой
- 1.20 SU(2) и SO(3)
- 1.21 Кватернионы
- 1.22 Физика
- 1.23 Проективное представление группы SO(3)
- 1.24 Свойства частиц со спином 1/2
- 1.25 Высшие неприводимые представления
- 1.26 Релятивистская квантовая механика
- 1.27 Квантовая информация
- 1.28 Дополнительные темы
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Матрицы Паули – Arc.Ask3.Ru
Матрицы Паули
-
Матрицы Паули
- Набор из трех комплексных матриц 2 × 2
- Бесследные, эрмитовы, инволюционные и унитарные
- Обозначаются греческой буквой сигма (σ)
-
Свойства матриц Паули
- Удовлетворяют соотношению полезного произведения
- Образуют базис векторного пространства 2 × 2 эрмитовых матриц
- Каждая матрица имеет собственные значения +1 и -1
-
Алгебраические свойства
- Матрицы могут быть сведены в одно выражение
- Инволютивные, с определителями и следами
- Образуют ортогональный базис Гильбертова пространства
-
Коммутационные и антикоммутационные соотношения
- Коммутационные соотношения делают матрицы генераторами алгебры Ли
- Антикоммутационные соотношения делают матрицы генераторами алгебры Клиффорда
-
Векторы Паули
- Вектор Паули определяется как сумма матриц Паули
- Обеспечивает механизм преобразования векторного базиса в матричный
- Определяет карту из R3 в векторное пространство бесследных эрмитовых матриц
-
Соотношение полноты
- Каждый компонент вектора может быть восстановлен из матрицы
- Норма задается определителем матрицы
-
Определяющий фактор
- Действие сопряжения SU(2) матрицы U на матрице
- U*a→⋅σ→ = a→′⋅σ→, где a→′ имеет ту же норму
-
Перекрестный продукт
- Перекрестное произведение задается матричным коммутатором
- Используется для доказательства свойства карты сохранять ориентацию
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения a→⋅σ→ являются ±|a→|
- Это следует из отсутствия следов и явного вычисления определителя
-
Собственные значения и собственные векторы
- Собственные значения оператора a → ⋅ σ → равны ± |a → |.
- Нормализованные собственные векторы: ψ + = (a3 + |a → |, a1 + i a2) и ψ − = (ia2 − a1, a3 + |a → |).
- Собственные векторы могут быть выражены через сферические координаты.
-
4-вектор Паули
- 4-вектор Паули σ μ определяет карту из R1,3 в векторное пространство эрмитовых матриц.
- 4-вектор имеет отношение полноты и может быть использован для поднятия и опускания с помощью метрического тензора Минковского.
- Матричная группа SL(2, C) действует как изометрия на R1,3 и изоморфна Spin(1,3).
-
Коммутационные и антикоммутационные соотношения
- Векторы Паули отображают коммутационные и антикоммутационные соотношения в соответствующие векторные произведения.
- Коммутационные соотношения: σjσk = δjkI + iεjkℓσℓ.
- Антикоммутационные соотношения: (a → ⋅ σ →)(b → ⋅ σ →) = (a → ⋅ b →)I + i(a → × b →) ⋅ σ →.
-
Экспонента вектора Паули
- Экспонента вектора Паули eia(n → ⋅ σ →) = Icosa + i(n → ⋅ σ →)sin a.
- Определитель экспоненты равен 1, что делает её общим групповым элементом SU(2).
-
Закон группового состава SU(2)
- Прямое применение формулы экспоненты обеспечивает параметризацию закона композиции группы SU(2).
- Закон группового умножения: eia(n → ⋅ σ →)eib(m → ⋅ σ →) = eic(k → ⋅ σ →).
-
Закон косинусов и параметры вращения
- Закон косинусов используется для нахождения параметров вращения.
- Параметры вращения выражаются через углы и направляющие косинусы.
-
Композитные параметры вращения
- Композитные параметры вращения определяются через параметры вращения и векторы Pauli.
- Векторы Pauli используются для описания вращений в квантовой механике.
-
Адъюнктное действие
- Адъюнктное действие описывает вращение вокруг оси.
- Вращение вокруг оси выражается через векторы Pauli и углы.
-
Полнота и блоховская сфера
- Полнота Pauli матриц позволяет выразить любую 2×2 матрицу через Pauli матрицы.
- Блоховская сфера используется для представления смешанных состояний.
-
Связь с перестановкой
- Перестановка между двумя спинами может быть выражена через Pauli матрицы.
- Перестановка используется как взаимодействие в гамильтониане.
-
SU(2) и SO(3)
- SU(2) — группа унитарных 2×2 матриц с единичным определителем.
- SU(2) и SO(3) изоморфны как алгебры Ли, но не как группы.
-
Кватернионы
- Полные Pauli матрицы изоморфны алгебре кватернионов.
- Кватернионы используются для описания SU(2) и SO(3).
-
Физика
- В классической механике Pauli матрицы используются для описания поворотов.
- В квантовой механике Pauli матрицы связаны с операторами углового момента.
-
Проективное представление группы SO(3)
- iσj являются генераторами проективного представления группы SO(3) для частиц со спином 1/2.
- Состояния частиц представлены двухкомпонентными спинорами.
- Матрицы Паули связаны с оператором изоспина.
-
Свойства частиц со спином 1/2
- Частицы со спином 1/2 должны быть повернуты на 4π для возвращения к первоначальной конфигурации.
- Вращение вверх/вниз визуализируется как полюс север-юг на 2-х сферах S2.
- Оператор вращения задается через J = ħ/2σ.
-
Высшие неприводимые представления
- Многократное взятие с собой произведений Кронекера позволяет построить все высшие неприводимые представления.
- Операторы вращения для систем с более высоким вращением могут быть вычислены с использованием оператора вращения и лестничных операторов.
-
Релятивистская квантовая механика
- В релятивистской квантовой механике спиноры представляют собой матрицы 4 × 1.
- Матрицы Паули должны быть матрицами 4 × 4.
- Σk-матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и σk-матрицы.
- Релятивистский момент импульса – четырехтензорный показатель второго порядка.
- Σμν необходимо заменить на Σμν, генератор преобразований Лоренца.
- Существует только шесть независимых матриц: Σkℓ и αk.
-
Квантовая информация
- В квантовой информации однокубитные квантовые элементы – унитарные матрицы 2 × 2.
- Матрицы Паули важны для операций с одним кубитом.
- Декомпозиция Картана называется “Z–Y декомпозицией однокубитного вентиля”.
-
Дополнительные темы
- Алгебра физического пространства
- Спиноры в трех измерениях
- Базис Дирака
- Угловой момент
- Матрицы Гелл-Манна
- Группа Пуанкаре
- Обобщения матриц Паули
- Сфера Блоха
- Тождество четырех квадратов Эйлера
- Обобщения матриц Паули с более высокими спинами
- Матрица обмена
- Расщепленный кватернион