Оглавление
- 1 Local ring
- 1.1 Определение и свойства локальных колец
- 1.2 Примеры локальных колец
- 1.3 Нелокальные кольца
- 1.4 Кольцо зарождений
- 1.5 Теория оценок
- 1.6 Некоммутативные локальные кольца
- 1.7 Топология и классификация
- 1.8 Гомоморфизмы локальных колец
- 1.9 Примеры локальных колец
- 1.10 Свойства локальных колец
- 1.11 Теорема Капланского
- 1.12 Эквивалентность по Морита
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Местное кольцо
Local ring
-
Определение и свойства локальных колец
- Локальные кольца — это кольца с уникальным максимальным левым и правым идеалом.
- Локальные кольца имеют уникальные максимальные идеалы и радикал Якоби.
- Локальные кольца не имеют двух взаимно простых главных идеалов.
-
Примеры локальных колец
- Все поля и круговые поля являются локальными кольцами.
- Кольца Z/pnZ и C[[x]] являются локальными кольцами.
- Алгебра двойных чисел над полем является локальным кольцом.
- Локальные кольца возникают при локализации колец по простому идеалу.
-
Нелокальные кольца
- Кольцо полиномов K[x] над полем K не является локальным.
- Кольцо целых чисел Z не является локальным из-за наличия максимальных идеалов для каждого простого числа.
-
Кольцо зарождений
- Кольцо зарождений непрерывных функций на открытом интервале вокруг 0 является локальным.
- Кольцо зарождений функций на топологическом пространстве или алгебраическом многообразии также является локальным.
-
Теория оценок
- Локальные кольца играют важную роль в теории оценок.
- Локальные кольца в поле K могут быть определены как подкольца, содержащие хотя бы один из x и x−1 для каждого ненулевого элемента x.
-
Некоммутативные локальные кольца
- Некоммутативные локальные кольца возникают как эндоморфизмы модулей.
- Если эндоморфизм модуля M локален, то M является неразложимым.
-
Топология и классификация
- Локальные кольца с максимальным идеалом m становятся топологическими кольцами с m-адической топологией.
- Локальные кольца классифицируются по теореме Коэна.
-
Гомоморфизмы локальных колец
- Гомоморфизмы локальных колец — это непрерывные отображения с сохранением максимальных идеалов.
-
Примеры локальных колец
- Пример локального кольца: C[x]/(x3) → C[x]/(x2)
- Общий случай: Jacobson радикал m состоит из ненулевых элементов и является уникальным максимальным двусторонним идеалом
-
Свойства локальных колец
- Для элемента x локального кольца R эквивалентны: x имеет левый и правый обратные, x обратим, x не в m
- Если (R, m) локально, то фактор-кольцо R/m является skew-полем
- Если J ≠ R — любой двусторонний идеал в R, то фактор-кольцо R/J локально с максимальным идеалом m/J
-
Теорема Капланского
- Любой проективный модуль над локальным кольцом свободен
- Если P — конечно порождённый проективный модуль, то P изоморфен свободному модулю Rn
- Кольцо эндоморфизмов EndR(P) изоморфно полному кольцу матриц Mn(R)
-
Эквивалентность по Морита
- Все кольца, эквивалентные по Морита локальному кольцу R, изоморфны матричным кольцам над R