Метод конечных элементов
-
Основные понятия и определения
- Дискретизация — процесс замены непрерывной задачи на дискретную.
- Метод конечных элементов — метод дискретизации, основанный на аппроксимации решений непрерывных задач с помощью кусочно-полиномиальных функций.
- Пространства Соболева — пространства функций, которые являются непрерывными и имеют ограниченные производные.
-
Задача P1 и ее решение
- Задача P1 — найти функцию, удовлетворяющую граничным условиям и интегральному уравнению.
- Решение задачи P1 — функция, которая удовлетворяет граничным условиям и удовлетворяет интегральному уравнению.
-
Слабая форма P2
- Задача P2 — найти функцию, удовлетворяющую интегральному уравнению с симметричным билинейным оператором.
- Решение задачи P2 — функция, удовлетворяющая интегральному уравнению и являющаяся элементом пространства Соболева.
-
Схема доказательства существования и единственности решения
- Доказательство существования и единственности решения основано на теореме о представлении Рисса и использовании пространства Соболева.
-
Дискретизация и метод конечных элементов
- Дискретизация задачи P1 и P2 приводит к общей задаче (3) с конечномерным подпространством.
- Пространство кусочно-полиномиальных функций используется для метода конечных элементов.
-
Триангуляция и пространство V
- Триангуляция — разбиение области на треугольники для дискретизации.
- Пространство V — набор функций, линейных на каждом треугольнике триангуляции.
- Сходимость решения дискретной задачи к решению исходной краевой задачи зависит от тонкости триангуляции, измеряемой параметром h.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.