Некоммутативная топология
- Некоммутативная топология – взаимосвязь между топологическими и C*-алгебраическими понятиями.
- Термин берет начало в теореме Гельфанда-Наймарка, двойственности категорий локально компактных хаусдорфовых пространств и коммутативных C*-алгебр.
- Некоммутативная топология связана с аналитической некоммутативной геометрией.
- Примеры: некоммутативные C*-алгебры могут рассматриваться как алгебры комплекснозначных непрерывных функций в некоммутативных пространствах.
- Топологические свойства могут быть сформулированы как свойства C*-алгебр без ссылки на коммутативность или лежащее в их основе пространство.
- Примеры свойств: компактность, σ-компактность, измерение, связность, экстремально несвязанные пространства (AW*-алгебры).
- Отдельные элементы коммутативной C*-алгебры соответствуют непрерывным функциям, что позволяет обобщать определенные типы функций.
- Примеры категориальных конструкций: копроизведение пространств соответствует прямой сумме алгебр, топология произведения – копроизведению C*-алгебр, унификация алгебр – компактификациям топологий.
- Существуют примеры свойств, для которых возможны множественные обобщения, и неясно, какое из них предпочтительнее.
- Один из основных примеров – обобщение топологической K-теории на некоммутативные C*-алгебры в виде операторной K-теории.
Полный текст статьи: