Некоммутативное кольцо
-
Основы теории колец
- Кольца — это алгебраические структуры, которые включают в себя операции сложения, умножения и унарный оператор.
- Кольца могут быть коммутативными или некоммутативными, и они могут быть с единицей или без нее.
- Кольца без единицы называются полями.
-
Примеры и свойства колец
- Кольца могут быть определены как множества с операциями, удовлетворяющими аксиомам.
- Примеры включают кольца целых чисел, рациональных чисел и матричные кольца.
- Кольца обладают различными свойствами, такими как ассоциативность, коммутативность, наличие единицы и обратимых элементов.
-
Классификация колец
- Кольца делятся на простые, полупростые и нильпотентные.
- Простые кольца являются фундаментальными и включают в себя поля, матричные кольца и кольца деления.
- Полупростые кольца могут быть классифицированы по Артину-Уэддерберну, а нильпотентные кольца имеют конечную степень нильпотентности.
-
Вариации и обобщения
- Существуют различные типы колец, включая ассоциативные, некоммутативные, унитарные и ассоциативно-унитарные.
- Кольца могут быть классифицированы по различным признакам, таким как размерность, ранг и наличие максимального идеала.
-
Теоремы и их следствия
- Существуют важные теоремы, такие как теорема Уэддерберна, которая утверждает, что конечные области являются полями.
- Теорема Артина-Уэддерберна классифицирует полупростые кольца и алгебры.
- Теорема Джейкобсона о плотности описывает простые модули над кольцами.
- Локализация колец позволяет добавлять мультипликативные инверсии, что важно в дифференциальных уравнениях.
- Эквивалентность Мориты связывает категории модулей над кольцами.
-
Теория групп Брауэра
- Группа Брауэра поля K классифицирует центральные простые алгебры конечного ранга.
- Группа Брауэра может быть определена через когомологии Галуа или алгебры Азумайи.
-
Условия добычи руды
- Условие рудности определяет, когда кольцо может быть локально представлено полем дробей.
- Правильная рудная область удовлетворяет условию рудности для всех элементов.
-
Теорема Голди
- Правое кольцо Голди имеет конечную равномерную размерность и удовлетворяет условию восходящей цепочки.
- Полупростые правые кольца Голди имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных.
- Каждое простое главное правое идеальное кольцо изоморфно матричному кольцу над правой рудной областью.