Оглавление
- 1 Непрерывный линейный оператор
- 1.1 Непрерывные линейные операторы
- 1.2 Характеристики непрерывности
- 1.3 Ограниченные подмножества и функции
- 1.4 Ограниченные линейные операторы
- 1.5 Ограниченность в окрестности и непрерывность
- 1.6 Пример непрерывной и ограниченной, но не ограниченной в окрестности
- 1.7 Непрерывность и ограниченность линейных отображений
- 1.8 Локально ограниченные TVS
- 1.9 Непрерывные линейные функционалы
- 1.10 Свойства непрерывных линейных функционалов
- 1.11 Непрерывность линейных отображений
- 1.12 Примеры непрерывных линейных отображений
- 1.13 Свойства непрерывных линейных отображений
- 1.14 Дополнительные свойства непрерывных линейных отображений
- 1.15 Связанные понятия
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Непрерывный линейный оператор
Непрерывный линейный оператор
-
Непрерывные линейные операторы
- Непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами (TVSs) является непрерывным линейным преобразованием.
- Оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.
-
Характеристики непрерывности
- Непрерывность эквивалентна непрерывности в некоторой точке, начале координат или для каждой непрерывной полунормы.
- В локально выпуклых пространствах непрерывность эквивалентна слабой непрерывности и транспонированию, отображающему равнопрерывные подмножества.
- В последовательных пространствах непрерывность эквивалентна последовательной непрерывности в некоторой точке.
- В нормированных пространствах непрерывность эквивалентна ограниченности.
- В полунормируемых пространствах непрерывность эквивалентна сопоставлению окрестности 0 с ограниченным подмножеством.
- В нормированных и полунормируемых пространствах непрерывность эквивалентна существованию δ > 0 такой, что для всех x, y ∈ X, если ‖x − y‖ < δ, то ‖Fx − Fy‖ < r.
- В Хаусдорфовых локально выпуклых пространствах с конечномерным Y график F закрыт в X × Y.
-
Ограниченные подмножества и функции
- Ограниченное подмножество топологического векторного пространства ограничено фон Нейманом.
- Функция ограничена множеством S, если F(S) ограничено в Y.
- Линейная карта ограничена множеством S тогда и только тогда, когда она ограничена на x + S и cS для каждого ненулевого скаляра c.
- Ограниченные линейные отображения ограничены в каждом ограниченном подмножестве своей области.
-
Ограниченные линейные операторы
- Линейная карта F: X → Y ограничена, если для каждого ограниченного подмножества B ⊆ X, F(B) ограничено в Y.
- В нормированных пространствах достаточно проверить это условие для открытого или закрытого единичного шара.
- Каждый последовательно непрерывный линейный оператор ограничен.
-
Ограниченность в окрестности и непрерывность
- Линейное отображение ограничено в окрестности, если оно локально ограничено в каждой точке своей области.
- Ограниченное в окрестности отображение непрерывно и ограничено.
- Обратные утверждения неверны в общем случае, но верны для нормированных пространств.
-
Пример непрерывной и ограниченной, но не ограниченной в окрестности
- Тождественное отображение в локально выпуклом пространстве непрерывно и ограничено, но не ограничено окрестностью.
- Каждое локально выпуклое пространство, не являющееся полунормативным, имеет линейный TVS-автоморфизм, не ограниченный окрестностью.
-
Непрерывность и ограниченность линейных отображений
- Линейное отображение в нормированном или полунормированном пространстве непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено окрестностью.
- Ограниченный линейный оператор в локально выпуклом пространстве будет непрерывным, если его область (псевдо)метризуема или борнологична.
-
Локально ограниченные TVS
- TVS называется локально ограниченным, если существует окрестность, которая также является ограниченным множеством.
- Линейное отображение из локально ограниченного TVS в любой другой TVS непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено окрестностью.
-
Непрерывные линейные функционалы
- Каждый линейный функционал в топологическом векторном пространстве является линейным оператором.
- Непрерывность линейного функционала эквивалентна равномерной непрерывности на его области.
- Линейный функционал является непрерывным в начале координат, если для каждого открытого шара в кодовом домене существует окрестность в области, такая что образ этой окрестности содержится в шаре.
-
Свойства непрерывных линейных функционалов
- Линейный функционал является локально ограниченным в каждой точке своей области.
- Ядро линейного функционала закрыто в его области.
- Любой линейный функционал, равный нулю или имеющий плотное ядро, не является непрерывным.
- График линейного функционала закрыт.
- Действительная и мнимая части линейного функционала непрерывны.
- Линейный функционал последовательно непрерывен в некоторой точке своей области, если его область является последовательным пространством.
- Линейный функционал ограничен, если его область метризуема или псевдометризуема.
- Линейный функционал ограничен, если его область борнологична и кодовая область локально выпукла.
-
Непрерывность линейных отображений
- Линейное отображение является непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке своей области.
- Если область является векторным пространством над действительными числами, то отображение является вещественным.
- Существует непрерывная полунорма, такая что отображение ограничено.
- Полупространство, где отображение ограничено, является замкнутым.
-
Примеры непрерывных линейных отображений
- Каждое линейное отображение в конечномерном хаусдорфовом топологическом векторном пространстве (TVS) непрерывно.
- Каждая постоянная карта между TVS, которые одинаково равны нулю, является непрерывной, ограниченной и ограничена окрестностями начала координат.
- Каждый TVS имеет непустое непрерывное двойственное пространство.
-
Свойства непрерывных линейных отображений
- Локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда каждый ограниченный линейный функционал непрерывен.
- Непрерывный линейный оператор преобразует ограниченные множества в ограниченные множества.
- Если X является сложным нормированным пространством, то ‖f‖ = ‖Re f‖.
- Каждый нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS является открытой картой.
-
Дополнительные свойства непрерывных линейных отображений
- Если f является линейным функционалом в вещественном векторном пространстве X и p является полунормой на X, то |f| ≤ p тогда и только тогда, когда f ≤ p.
- Если f: X → F является линейным функционалом и U ⊆ X является непустым подмножеством, то sup |f(U)| может быть записано как sup |f(u)|.
- Если s является скаляром, то sup |f(sU)| = |s| sup |f(U)|.
-
Связанные понятия
- Ограниченный линейный оператор
- Компактный оператор
- Непрерывное линейное расширение
- Сжатие (операторная теория)
- Прерывистая линейная карта
- Наилучшая локально выпуклая топология
- Линейные функционалы
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство
- Положительное линейное функционально-упорядоченное векторное пространство
- Топологии на пространствах линейных отображений
- Неограниченный оператор