Оглавление
Нерв (теория категорий)
-
Определение и применение нерва в теории категорий
- Нерв N(C) категории C представляет собой симплициальное множество, связанное с объектами и морфизмами C.
- Геометрическая реализация N(C) – это классифицирующее пространство категории C, которое предоставляет информацию о категории через алгебраическую топологию.
-
Мотивация и построение
- Категория C используется для построения топологических пространств модулей, которые кодируют изоморфизмы объектов и отслеживают их композиции.
- Нерв N(C) организует данные о модулях, предоставляя комбинаторный способ их описания.
- Гомотопические группы nn(N(C)) могут дать информацию о категории C или смежных категориях.
-
Структура и функториальность
- N(C) состоит из k-кортежей морфизмов, а его карты граней и вырождения определяются структурой категории C.
- Нерв можно рассматривать как функтор Δop → Set, что делает его функториальность прозрачной.
- Естественные преобразования между функторами N(C) и N(D) индуцируют гомотопии между их отображениями.
-
Примеры и обобщения
- Классифицирующее пространство дискретной группы G является основным примером, где k-симплексы соответствуют k-кортежам элементов группы.
- Большинство топологических пространств гомеоморфны классифицирующим пространствам небольших категорий.
- Нерв открытого покрытия топологического пространства может быть использован для получения информации о морфизмах между объектами.
-
Рекомендации и литература
- В статье приведены ссылки на работы, которые углубляют понимание теории категорий и её приложений в алгебраической топологии.
Полный текст статьи: