Нерв (теория категорий)

• Определение и применение нерва в теории категорий

  • Нерв N(C) категории C представляет собой симплициальное множество, связанное с объектами и морфизмами C. 
  • Геометрическая реализация N(C) — это классифицирующее пространство категории C, которое предоставляет информацию о категории через алгебраическую топологию. 

• Мотивация и построение

  • Категория C используется для построения топологических пространств модулей, которые кодируют изоморфизмы объектов и отслеживают их композиции. 
  • Нерв N(C) организует данные о модулях, предоставляя комбинаторный способ их описания. 
  • Гомотопические группы nn(N(C)) могут дать информацию о категории C или смежных категориях. 

• Структура и функториальность

  • N(C) состоит из k-кортежей морфизмов, а его карты граней и вырождения определяются структурой категории C. 
  • Нерв можно рассматривать как функтор Δop → Set, что делает его функториальность прозрачной. 
  • Естественные преобразования между функторами N(C) и N(D) индуцируют гомотопии между их отображениями. 

• Примеры и обобщения

  • Классифицирующее пространство дискретной группы G является основным примером, где k-симплексы соответствуют k-кортежам элементов группы. 
  • Большинство топологических пространств гомеоморфны классифицирующим пространствам небольших категорий. 
  • Нерв открытого покрытия топологического пространства может быть использован для получения информации о морфизмах между объектами. 

• Рекомендации и литература

  • В статье приведены ссылки на работы, которые углубляют понимание теории категорий и её приложений в алгебраической топологии.