Норма поля
-
Определение нормы
- Норма поля — это отображение элементов более крупного поля в подполе.
- Норма определяется как определяющий фактор линейного преобразования.
- Для расширения Галуа норма вычисляется как произведение сопряжений Галуа.
-
Примеры норм
- Квадратичные расширения: норма равна определителю матрицы умножения.
- Расширения p-го корневого поля: норма равна определителю матрицы умножения.
- Комплексные числа над реалами: норма равна x2 + y2.
-
Свойства нормы
- Норма является групповым гомоморфизмом.
- Норма элемента в конечном расширении равна произведению всех конъюгатов Галуа.
- Норма элемента в произвольном расширении может быть сведена к более простому вычислению.
-
Обнаружение единиц измерения
- Элемент является единицей измерения, если его норма равна ±1.
- Норма алгебраического целого числа равна постоянному члену характеристического многочлена.
-
Дополнительные свойства
- Норма идеала равна числу классов вычетов в кольце целых чисел.
- Норма главного идеала равна абсолютному значению нормы Q для алгебраического целого числа.