Оглавление
Обобщенное разложение по сингулярным значениям
-
Обобщенная сингулярная декомпозиция (GSVD)
- GSVD разлагает две матрицы одновременно, в отличие от SVD, который разлагает одну матрицу.
- GSVD использует набор ограничений на левый и правый сингулярные векторы SVD.
-
Определение GSVD
- GSVD разлагает матрицы A1 и A2 как A1 = U1Σ1[W∗D,0D]Q∗ и A2 = U2Σ2[W∗D,0D]Q∗.
- U1 и U2 — унитарные матрицы, Q — унитарная матрица, W — унитарная матрица, D — вещественная диагональная матрица.
- Σ1 и Σ2 — вещественные неотрицательные диагональные блоки.
-
Вариации GSVD
- Существует множество вариаций GSVD, связанных с умножением Q∗ слева по E.
- Примеры: MATLAB (gsvd), ЛАПАК (LA_GGSVD), упрощенный.
-
Обобщенные сингулярные значения
- Обобщенные сингулярные значения — это пары (a, b) такие, что limδ→0 det(b2A1∗A1−a2A2∗A2+δI) = 0, a2+b2 = 1, a, b ≥ 0.
- Обобщенные сингулярные значения соответствуют парам (αi, βi).
-
Обобщенный обратный
- Определяется как A+ = Q[Y−10]Σ+U∗.
- A+ — обобщенная обратная величина A, но не удовлетворяет обратной зависимости Мура–Пенроуза.
- Σ+ = ⌈IA, S1−1, 0AT⌋ и Σ+ = ⌈0BT, S2−1, IB⌋.
-
Обобщенная сингулярная декомпозиция (GSVD)
- GSVD используется для разложения матриц на сингулярные векторы и сингулярные значения.
- GSVD является частным случаем SVD, где сингулярные значения упорядочены по убыванию.
- GSVD применяется для обработки сигналов и данных, а также для оценки спектральных разложений линейных операторов.
-
Свойства GSVD
- GSVD позволяет найти сингулярные значения и сингулярные векторы для матриц, которые могут быть не обратимыми.
- GSVD может быть использована для нахождения SVD матриц, которые не являются обратимыми, но имеют сингулярные значения в порядке убывания.
- GSVD также может быть использована для нахождения SVD матриц, которые являются обратимыми, но не имеют сингулярных значений в порядке убывания.
-
Применение GSVD
- GSVD успешно применяется для обработки сигналов и данных, таких как геномные сигналы.
- GSVD вдохновила на создание других сравнительных спектральных разложений, таких как HO GSVD и тензорный GSVD.
- GSVD также используется для оценки спектральных разложений линейных операторов.
-
Взвешенная версия GSVD
- Взвешенная версия GSVD является ограниченной матричной декомпозицией с ограничениями на левый и правый сингулярные векторы.
- Взвешенная форма GSVD является основой методов, таких как обобщенный анализ главных компонент и анализ соответствия.
- Взвешенная форма GSVD обобщает многие методы, такие как многомерное масштабирование и линейный дискриминантный анализ.