Однородное распределение
-
Определение однородного распределения
- Однородное распределение S в евклидовом пространстве Rn или Rn \{0} является однородным, если для всех t > 0 выполняется условие μt(x) = x/t.
- Степень однородности m определяется как t−n.
-
Свойства однородных распределений
- Слабая первая частная производная от S имеет степень α−1.
- Теорема Эйлера утверждает, что S однородно в степени α тогда и только тогда, когда S = axα + bx−α.
-
Одномерные однородные распределения
- В одном измерении однородные распределения задаются степенными функциями и дельта-функцией Дирака.
- Дельта-функция Дирака однородна в степени -1.
- Функция xα является локально интегрируемой и определяет однородное распределение степени α.
-
Расширение степенных функций
- Функция xα допускает мероморфное расширение с полюсами при отрицательных целых числах.
- Существуют различные способы распространения степенных функций на однородные распределения при целых отрицательных значениях.
-
Классификация однородных распределений
- Справедлива классификационная теорема, утверждающая, что любое однородное распределение степени α ∈ -1, -2, … на R \{0} имеет вид axα + bx−α.
- Все однородные распределения степени −k, отрицательного целого числа, на R имеют вид axα + bx−α.
-
Многомерные однородные распределения
- Однородные распределения в евклидовом пространстве Rn \{0} с удаленной точкой отсчета имеют вид ƒ(x)dx, где ƒ — распределение на единичной сфере Sn-1.
- Любое однородное распределение вида (1) на Rn \{0} однозначно распространяется на однородное распределение на Rn при условии, что Re λ > −n.