Оглавление
- 1 Ограниченный оператор
- 1.1 Определение ограниченного линейного оператора
- 1.2 Эквивалентность ограниченности и непрерывности
- 1.3 Ограниченные операторы в топологических векторных пространствах
- 1.4 Непрерывность и ограниченность в топологических векторных пространствах
- 1.5 Борнологические пространства
- 1.6 Характеристики ограниченных линейных операторов
- 1.7 Примеры ограниченных линейных операторов
- 1.8 Неограниченные линейные операторы
- 1.9 Ограниченность оператора L
- 1.10 Свойства пространства ограниченных линейных операторов
- 1.11 Связанные понятия
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Ограниченный оператор
Ограниченный оператор
-
Определение ограниченного линейного оператора
- Линейный оператор L: X → Y между топологическими векторными пространствами X и Y называется ограниченным, если он отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y.
- В нормированных пространствах L ограничен тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое, что для всех x ∈ X, ‖Lx‖Y ≤ M‖x‖X.
- Операторная норма для L обозначается ‖L‖.
-
Эквивалентность ограниченности и непрерывности
- В нормированных пространствах каждый ограниченный оператор является липшицевым непрерывным при 0.
- Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.
-
Ограниченные операторы в топологических векторных пространствах
- В топологических векторных пространствах ограниченный оператор отображает ограниченные множества в ограниченные множества.
- В нормированных пространствах понятие ограниченного множества фон Неймана идентично обычному понятию подмножества, ограниченного нормой.
-
Непрерывность и ограниченность в топологических векторных пространствах
- Каждый последовательно непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным.
- В общем случае, ограниченный линейный оператор между двумя TVS не обязательно должен быть непрерывным.
-
Борнологические пространства
- Борнологические пространства — это локально выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другом локально выпуклом пространстве непрерывен.
- Каждое нормированное пространство является борнологическим.
-
Характеристики ограниченных линейных операторов
- Ограниченный линейный оператор сопоставляет ограниченные подмножества своего домена с ограниченными подмножествами своего кодомена.
- Нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат.
- Последовательность x∙ = (xi)i=1∞ считается сходящейся к истоку в X, если существует расходящаяся последовательность r∙ = (ri)i=1∞ → ∞ из положительного действительного числа, такая что r∙ = (rixi)i=1∞ является ограниченным подмножеством X.
-
Примеры ограниченных линейных операторов
- Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен.
- В пространстве последовательностей c00 из конечных нулевых последовательностей действительных чисел, рассматриваемых с ℓ1 нормой, линейный оператор для действительных чисел, который возвращает сумму последовательности, ограничен, с нормой оператора 1.
- Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами.
- Оператор Лапласа Δ: H2(Rn) → L2(Rn) ограничен.
- Оператор сдвига в пространстве Lpℓ2 из всех последовательностей (x0, x1, x2, …) из вещественных чисел с x02 + x12 + x22 + … < ∞, L(x0, x1, x2, …) = (0, x0, x1, x2, …), ограничен.
-
Неограниченные линейные операторы
- В пространстве всех тригонометрических многочленов на [-π, π], с нормой ‖P‖ = ∫−ππ |P(x)|dx, оператор, который отображает P в P, не ограничен.
-
Ограниченность оператора L
- Оператор L: X → X сопоставляет многочлен с его производной.
- Для vn = e^inx с n = 1, 2, …, ‖vn‖ = 2π, а ‖L(vn)‖ = 2πn → ∞ при n → ∞.
- L не ограничен.
-
Свойства пространства ограниченных линейных операторов
- Пространство всех ограниченных линейных операторов из X к Y обозначается B(X, Y).
- B(X, Y) — нормированное векторное пространство.
- Если Y является банаховым, то и B(X, Y) является банаховым.
- Для любого A ∈ B(X, Y) ядро A является замкнутым линейным подпространством X.
- Если B(X, Y) является банаховым и X нетривиально, то Y также является банаховым.
-
Связанные понятия
- Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) — обобщение ограниченности.
- Сжатие (операторная теория) — ограниченные операторы с субблочной нормой.
- Прерывистая линейная карта.
- Непрерывный линейный оператор.
- Локальная ограниченность.
- Норма (математика) — длина в векторном пространстве.
- Операторная алгебра — раздел функционального анализа.
- Операторная норма — мера “размера” линейных операторов.
- Теория операторов — математическая область исследований.
- Полунорма — математическая функция.
- Неограниченный оператор — линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.