Оглавление [Скрыть]
Определенная квадратичная форма
-
Определенная квадратичная форма
- Квадратичная форма над вещественным векторным пространством V, имеющая один и тот же знак для каждого ненулевого вектора V.
- Положительно-определенная форма всегда положительна, отрицательно-определенная всегда отрицательна.
- Полуопределенная форма принимает нулевые значения для некоторых ненулевых векторов.
- Неопределенная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения.
-
Симметричная билинейная форма
- Квадратичные формы соответствуют симметричным билинейным формам.
- Симметричная билинейная форма также может быть определенной, полуопределенной и неопределенной.
-
Примеры квадратичных форм
- В двумерном пространстве квадратичная форма с двумя переменными может быть положительно-определенной, отрицательно-определенной, полуопределенной или неопределенной в зависимости от знаков констант.
- В общем случае квадратичная форма включает слагаемое перекрестного произведения.
-
Матричная форма
- Квадратичная форма может быть записана в терминах матриц.
- Положительная или отрицательная определенность формы эквивалентна свойствам матрицы.
-
Оптимизация квадратичных форм
- Определенные квадратичные формы легко поддаются оптимизации.
- Условия первого порядка для максимума или минимума определяются производной матрицы.
- Важным примером оптимизации является множественная регрессия.