Плотный порядок
-
Определение плотного порядка
- Плотный порядок в математике — это порядок, в котором между любыми двумя элементами существует третий элемент.
- Для общего случая достаточно, чтобы между любыми двумя различными элементами был третий элемент.
-
Примеры плотных порядков
- Рациональные числа, алгебраические числа, действительные числа и другие архимедовы упорядоченные множества являются плотными.
- В кольцевых расширениях целых чисел, таких как
- Z
- [
- x
- ]
- , существует наибольшее целое число для каждого положительного или отрицательного элемента.
- Линейное упорядочение целых чисел не является плотным.
-
Изоморфизм плотных порядков
- Кантор доказал, что два непустых плотных упорядоченных множества без нижних или верхних границ изоморфны.
- Существуют изоморфизмы между различными плотно упорядоченными множествами, включая рациональные числа и двоичные рациональные числа.
-
Обобщения плотных отношений
- Бинарное отношение R является плотным, если для любых связанных с R x и y существует z, связанное с R.
- Существуют достаточные условия для того, чтобы бинарное отношение было плотным, включая рефлексивность, корефлексивность, квазирефлексивность и другие.
-
Связь с другими математическими понятиями
- Плотное множество — это подмножество, замыкание которого является всем пространством.
- Плотное-само-по-себе — это подмножество, не содержащее изолированных точек.
- Семантика Крипке — это семантика, связанная с плотными отношениями доступности.