Полное метрическое пространство
-
Определение и свойства метрических пространств
- Метрическое пространство – это множество с заданной метрикой, удовлетворяющей аксиомам.
- Метрика определяет расстояние между точками, а топология – это совокупность открытых множеств.
- Метрическое пространство является полным, если любая последовательность имеет предел.
- Пространство называется полным, если оно содержит все свои подмножества в качестве замкнутых множеств.
-
Примеры полных метрических пространств
- Пространство рациональных чисел является полным метрическим пространством.
- Пространство действительных чисел является полным метрическим пространством, но не топологически полным.
- Пространство комплексных чисел также является полным метрическим пространством.
-
Построение метрических пространств
- Метрика может быть определена через расстояние между точками.
- Для построения метрики можно использовать последовательности Коши.
- Завершение пространства – это построение полного метрического пространства из исходного пространства.
-
Завершение метрических пространств
- Завершение метрического пространства включает в себя построение его полного метрического пространства и изометрическое вложение исходного пространства.
- Завершение может быть выполнено через классы эквивалентности последовательностей Коши.
-
Топологически завершенные пространства
- Полностью метризуемые пространства – это пространства, которые могут быть описаны как пересечение открытых множеств полного метрического пространства.
- Топологически полные пространства – это пространства, которые гомеоморфны полностью метризуемым пространствам.
-
Альтернативы и обобщения
- Последовательности Коши могут быть определены в топологических группах, а не только в метрических пространствах.
- Существуют обобщения полноты и завершения, включая сети Коши и фильтры Коши.
-
Вариации и приложения
- Завершение используется в функциональном анализе и теории оптимизации.
- Теорема Кнастера-Тарского связана с теорией порядка и решеток.