Оглавление
Полунепрерывность
-
Определение полунепрерывности
- Полунепрерывность — это свойство расширенных вещественнозначных функций, слабее непрерывности.
- Функция f является верхней полунепрерывной в точке x0, если для каждого y > f(x0) существует соседство U от x0 такое, что f(x) < y для всех x ∈ U.
- Функция f является нижней полунепрерывной в точке x0, если для каждого y < f(x0) существует соседство U от x0 такое, что f(x) > y для всех x ∈ U.
-
Примеры полунепрерывных функций
- Функция f(x) = {-1, если x < 0, 1, если x ≥ 0} является верхней полунепрерывной при x0 = 0, но не нижней полунепрерывной.
- Функция пола f(x) = ⌊x⌋ является верхней полунепрерывной, а функция потолка f(x) = ⌈x⌉ — нижней полунепрерывной.
- Функция f(x) = {sin(1/x) если x ≠ 0, 1 если x = 0} является верхней полунепрерывной при x = 0, но пределы функции слева или справа, равные нулю, не существуют.
-
Функционалы и меры
- Функционал длины L: Γ → [0, +∞], который присваивает каждой кривой α её длину L(α), является полунепрерывным снизу.
- Интеграл, рассматриваемый как оператор из L+(X, μ) к [-∞, +∞], является нижним полунепрерывным.
-
Свойства полунепрерывных функций
- Функция f: X → R¯ является непрерывной тогда и только тогда, когда она является как верхней, так и нижней полунепрерывной.
- Характеристическая функция замкнутого множества является нижней полунепрерывной, а характеристическая функция открытого множества — верхней полунепрерывной.
-
Двоичные операции над полунепрерывными функциями
- Сумма и произведение нижних полунепрерывных функций также являются нижними полунепрерывными.
- Произведение нижних полунепрерывных и неотрицательных функций является нижним полунепрерывным.
- Функция f является нижним полунепрерывным тогда и только тогда, когда −f является верхним полунепрерывным.
- Состав f ∘ g является верхним полунепрерывным, если f неубывающий, и может быть не полунепрерывным, если f не неубывающий.
- Максимум и минимум нижних полунепрерывных функций также являются нижними полунепрерывными.
-
Полунепрерывные функции
- Полунепрерывные функции образуют решетку.
- Вершина семейства полунепрерывных функций является полунепрерывной.
- На компактном пространстве полунепрерывные функции достигают максимума или минимума.
-
Теорема Бэра
- Нижняя полунепрерывная функция является пределом точечно возрастающей последовательности непрерывных функций.
- Верхняя полунепрерывная функция локально постоянна на плотном открытом подмножестве.
- В последовательном пространстве верхняя полунепрерывность эквивалентна последовательной верхней полунепрерывности.
-
Полунепрерывность многозначных функций
- Определены верхняя, нижняя, внешняя и внутренняя полунепрерывности для многозначных функций.
- Верхняя и нижняя полунепрерывности определяются для многозначных отображений между топологическими пространствами.
- Внутренняя полунепрерывность требует существования последовательности, сходящейся к точке в образе функции.
- Внешняя полунепрерывность требует существования последовательности, сходящейся к точке в области определения функции.