Прегеометрия (теория моделей)
-
Определение и примеры предгеометрий
- Предгеометрия — это структура, которая включает в себя множество и операцию замыкания.
- Примеры включают множества с конечным числом элементов, множества с конечным числом замкнутых подмножеств и множества с конечным числом замкнутых точек.
-
Свойства предгеометрий
- Замкнутые множества образуют топологическое пространство.
- Предгеометрия однородна, если все замкнутые множества имеют одинаковую размерность.
- Предгеометрия является модульной, если для любых двух замкнутых множеств их пересечение имеет меньшую размерность, чем каждое из них.
- Предгеометрия локально модульна, если она имеет локализацию, которая является модульной.
- Предгеометрия проективна, если она нетривиальна и локально модуля.
- Предгеометрия локально конечна, если все конечные множества имеют конечные замыкания.
-
Примеры предгеометрий
- Тривиальная предгеометрия — это множество с фиксированным замыканием.
- Векторные пространства и проективные пространства являются примерами модульных предгеометрий.
- Аффинные пространства являются примерами предгеометрий, которые не являются модульными, но все локализации являются модульными.
- Расширение поля и степень трансцендентности приводят к предгеометриям, где размерность множества совпадает со степенью трансцендентности его алгебраического замыкания.
- Строго минимальные множества в теории моделей приводят к предгеометриям с алгебраическим замыканием.
-
Рекомендации
- Для более подробного изучения предгеометрий рекомендуется обратиться к работам Х.Х. Крапо и Джи-Си. Рота, М.И.Т. Пиллэй и Оксфордские руководства по логике.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.