Оглавление
- 1 Представление алгебры Ли
- 1.1 Общие сведения о представлениях алгебр Ли
- 1.2 Формальное определение
- 1.3 Примеры представлений
- 1.4 Основные понятия
- 1.5 Определение редуктивной алгебры Ли
- 1.6 Инварианты
- 1.7 Основные конструкции
- 1.8 Теория представлений полупростых алгебр Ли
- 1.9 Индуцированное представление
- 1.10 Индукция и резольвента
- 1.11 Категория O
- 1.12 (g,K)-модуль
- 1.13 Представление в алгебре
- 1.14 Дополнительные ресурсы
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Представление алгебры Ли – Arc.Ask3.Ru
Представление алгебры Ли
-
Общие сведения о представлениях алгебр Ли
- Представления алгебр Ли записывают алгебру Ли в виде набора матриц или эндоморфизмов векторного пространства.
- Скобка Ли задается коммутатором.
- Представления тесно связаны с представлениями групп Ли.
-
Формальное определение
- Алгебра Ли g и векторное пространство V образуют g-модуль.
- Представление алгебры Ли на V — это гомоморфизм алгебры Ли.
- Векторное пространство V вместе с представлением называется g-модулем.
-
Примеры представлений
- Сопряженное представление алгебры Ли g само по себе.
- Бесконечно малые представления групп Ли возникают в природе.
- В квантовой физике операторы углового момента образуют алгебру Ли so(3).
-
Основные понятия
- Инвариантные подпространства и неприводимость: подпространство W инвариантно, если ρ(X)w ∈ W для всех w ∈ W и X ∈ g.
- Гомоморфизмы: линейная карта f: V → W является гомоморфизмом, если f(X⋅v) = X⋅f(v) для всех X ∈ g, v ∈ V.
- Лемма Шура: если V, W неприводимы и f: V → W гомоморфизм, то f либо нуль, либо изоморфизм.
- Полная приводимость: представление V полностью приводимо, если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений.
- Редуктивные алгебры Ли: сопряженное представление является полупростым.
-
Определение редуктивной алгебры Ли
- Редуктивная алгебра Ли разлагается как прямая сумма идеалов, не имеющих нетривиальных подидеалов
- Некоторые идеалы будут одномерными, остальные — простыми алгебрами Ли
- Редуктивная алгебра Ли является прямой суммой коммутативной алгебры и полупростой алгебры
-
Инварианты
- Элемент v из V называется g-инвариантным, если x⋅v = 0 для всех x ∈ g
- Совокупность всех инвариантных элементов обозначается V^g
-
Основные конструкции
- Тензорное произведение представлений: V1 ⊗ V2, действие g однозначно определяется предположением, что для всех v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2
- Двойные представления: ρ∗: g → gl(V∗), где ρ: g → gl(V) — представление g
- Представление на линейных картах: Hom(V, W) становится g-модулем, установив (X⋅f)(v) = Xf(v) − f(Xv)
-
Теория представлений полупростых алгебр Ли
- Универсальная обертывающая алгебра U(g) связана с каждой алгеброй Ли g над полем k
- U(g) играет важную роль в теории представлений полупростых алгебр Ли
-
Индуцированное представление
- Индуцированное представление: U(g) ⊗ U(h)W, где W — h-модуль, удовлетворяет универсальному свойству
- Индукция является точной функтором из категории h-модулей в категорию g-модулей
- Индукция переходная и коммутирует с ограничением
-
Индукция и резольвента
- Индукция и резольвента используются для изучения бесконечномерных представлений алгебры Ли.
- Индукция позволяет строить представления алгебры Ли из представлений её подпространств.
- Резольвента позволяет изучать представления алгебры Ли в более широком контексте.
-
Категория O
- Категория O является подходящей для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой.
- Категория O позволяет сформулировать знаменитую взаимность BGG.
-
(g,K)-модуль
- Представления алгебры Ли используются в теории представлений вещественных редуктивных групп Ли.
- (g,K)-модули позволяют применять алгебраические методы и гармонический анализ.
-
Представление в алгебре
- Представление алгебры Ли в алгебре является Z2-градуированной алгеброй.
- Элементы алгебры Ли действуют как производные/первообразности в алгебре.
- Алгебра Ли имеет сопряженное представление самой себя, что является алгеброй Пуассона.
-
Дополнительные ресурсы
- Ссылки на статьи и книги по теме.
- Рекомендации для дальнейшего чтения.