Оглавление
Преобразование интервального обмена
-
Определение интервального обменного преобразования
- Интервальное обменное преобразование обобщает вращение по окружности.
- Фазовое пространство состоит из единичного интервала.
- Преобразование разбивает интервал на подинтервалы и переставляет их.
-
Формальное определение
- Пусть n > 0 и π — перестановка на 1, …, n.
- Вектор λ = (λ1, …, λn) из положительных действительных чисел определяет ширины подинтервалов.
- Преобразование Tπ,λ: [0, 1] → [0, 1] называется преобразованием интервального обмена.
-
Свойства
- Tπ,λ является биекцией и сохраняет меру Лебега.
- Преобразование непрерывно, за исключением конечного числа точек.
- Обратное преобразование также является интервальным обменом.
-
Эргодические свойства
- Если λ1 иррационально, Tπ,λ однозначно эргодическое.
- Если λ1 рационально, каждая точка интервала периодическая с периодом, равным знаменателю λ1.
- Для n > 2 и невырожденной π, почти все λ в блоке simplex делают Tπ,λ однозначно эргодическим.
- Для n ≥ 4 существуют варианты (π, λ), где Tπ,λ эргодическое, но не однозначно эргодическое.
-
Топологическая энтропия
- Интервальные карты имеют топологическую энтропию, равную нулю.
-
Одометры
- Диадический одометр — это преобразование интервального обмена счетным числом интервалов.
- Двоичный одометр проще всего записать как преобразование в пространстве Кантора.
- Стандартное отображение из канторова пространства в единичный интервал сохраняет меру.
-
Обобщения
- Двухмерные и многомерные обобщения включают многоугольные обмены, многогранные обмены и кусочные изометрии.