Проекционная плоскость

• Определение и свойства проективной плоскости

  • Проективная плоскость — это множество точек и прямых, которые не пересекаются в одной точке. 
  • Прямые в проективной плоскости не обязательно должны быть прямыми в обычном смысле. 
  • Проективная плоскость удовлетворяет аксиомам инцидентности, однородности и прямой линии. 

• Примеры проективных плоскостей

  • Проективная плоскость K2 — это плоскость с кольцом деления K. 
  • Проективная плоскость над полем K — это множество точек на плоскости в K3, где прямые определяются как пересечения с плоскостью. 
  • Проективная плоскость над кольцом K — это множество точек в K3, где прямые определяются как пересечения с плоскостью, где K — кольцо. 

• Вложения и расширения проективных плоскостей

  • Проективные плоскости могут быть вложены в более высокие размерности, например, в проективную плоскость K3. 
  • Существуют различные методы вложения проективных плоскостей в более высокие размерности. 

• Алгебраические свойства проективных плоскостей

  • Плоское тройное кольцо может быть использовано для описания проективной плоскости. 
  • Теорема Дезарга и теорема Паппа связаны с геометрическими свойствами проективных плоскостей. 
  • Существуют недезарговые проективные плоскости, которые не удовлетворяют теореме Дезарга. 

• Вырожденные плоскости и коллинеации

  • Вырожденные плоскости не удовлетворяют всем условиям определения проективной плоскости. 
  • Коллинеация — это биективное отображение, сохраняющее угол падения. 
  • Гомография — это линейное преобразование, которое является коллинеацией проективной плоскости. 

• Плоская двойственность

  • Проективная плоскость может быть определена как структура инцидентности, где точки и прямые меняются ролями. 
  • Утверждения о двойственности плоскости означают, что утверждения, истинные в одной плоскости, должны быть истинными в двойственной плоскости. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.