Пять точек определяют коническую форму
-
Определение конических фигур
- Пять точек определяют коническую форму, как две точки определяют прямую.
- Конические фигуры имеют дополнительные тонкости, чем прямые.
-
Доказательства
- Подсчет размеров: пять точек в общем линейном положении определяют уникальную коническую форму.
- Карта Веронезе: пять точек в общем линейном положении на карте Веронезе также находятся в общем линейном положении.
-
Синтетическое доказательство
- Теорема Якоба Штайнера: пять точек определяют коническую форму через проективное преобразование.
-
Построение конических фигур
- Аналитически: уравнение конической формы можно найти через линейную алгебру.
- Синтетически: Брейкенридж-Маклорен: теорема Паскаля используется для построения возможных местоположений шестой точки.
-
Обобщения
- Гиперповерхности: k точек в общем положении определяют множество степеней d и размерностей m.
- Формула: число точек k является многочленом от d степени n с ведущим коэффициентом 1/n!.
-
Связанные результаты
- Конику определяют пять точек, но множества из шести или более точек ограничены.
- Кубическую форму определяют девять точек, но они не находятся в общем положении, если пересекают две кубические поверхности.
- Четыре точки определяют пучок конических линий, три точки — сеть, две точки — полотно, одна точка — 4-мерную линейную систему.
- Три неколлинеарные точки определяют окружность, две различные точки — пучок окружностей.
-
Определение конической окружности
- В папповой проективной плоскости коническая окружность определяется пятью точками: тремя в аффинной плоскости и двумя на прямой на бесконечности.
- Это меньше, чем ожидалось, так как для определения границ окружностей требуется больше точек.
-
Касание к прямым
- Кривая проходит по касательной к заданной прямой при другом условии.
- Касание к пяти прямым определяет конику, но с алгебраической точки зрения это квадратичное ограничение.
- Наивный подсчет дает 32 коники, из которых 31 вырожденная.
-
Задача Аполлония
- Окружность, касательная к трем окружностям, определяет восемь окружностей.
- Полный анализ включает множество частных случаев, и количество окружностей может быть от 0 до 8.
-
Теорема Крамера
- Теорема Крамера обобщает на плоские кривые n-й степени.