Оглавление
- 1 Однородный 4-многогранник
- 1.1 История открытия
- 1.2 Правильные 4-многогранники
- 1.3 Выпуклые однородные 4-многогранники
- 1.4 Симметрия однородных 4-многогранников
- 1.5 Перечисление
- 1.6 Подгруппы малых индексов
- 1.7 Семейство F4
- 1.8 Семейство H4
- 1.9 Семейство D4
- 1.10 Великий антипризм
- 1.11 Призматические однородные 4-многогранники
- 1.12 Неравномерные чередования
- 1.13 Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихор Витгофа
- 1.14 Описание конструкций с расширенной симметрией
- 1.15 Однородная звездчатая полихора
- 1.16 Рекомендации
- 1.17 Внешние ссылки
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Равномерный 4-многогранник
Однородный 4-многогранник
-
История открытия
- Людвиг Шлефли доказал существование 6 правильных многогранников в 4 измерениях.
- Эдмунд Гесс завершил список из 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.
- Торольд Госсет перечислил 45 полурегулярных 4-многогранников.
- Алисия Буль Стотт расширила определение, включив архимедовы тела и призматические ячейки.
- Питер Хендрик Шут опубликовал аналитическую обработку многогранников.
- Э. L. Elte расширила список Госсета.
- Х.С.М. Кокстер систематически расширял круг поисков.
- Джон Хортон Конвей и Майкл Гай перечислили полный список выпуклых форм.
- Норман Джонсон систематизировал 4-многогранники и назвал их polychora.
- Марко Меллер доказал полноту множества Конвея-Гая.
- Джон Х. Конвей опубликовал книгу с полным списком выпуклых однородных 4-многогранников.
-
Правильные 4-многогранники
- Правильные 4-многогранники имеют ячейки типа {p, q}, грани типа {p}, реберные фигуры {r} и вершинные фигуры {q,r}.
- Существует 16 правильных 4-многогранников, из которых 6 выпуклых и 10 звездчатых.
-
Выпуклые однородные 4-многогранники
- Существует 64 выпуклых однородных 4-многогранника, включая 6 правильных.
- 5-клеточные, 8-клеточные, 16-клеточные, 24-клеточные, 120-клеточные и 600-клеточные.
- 10 звездчатых 4-многогранников.
-
Симметрия однородных 4-многогранников
- Существует 5 основных семейств точечных групп зеркальной симметрии.
- Группы симметрии вида [a,b,a] имеют расширенную симметрию [[a,b,a].
- Однородные многогранники в группе с симметричными кольцами содержат расширенную симметрию.
-
Перечисление
- Существует 2 бесконечных набора призм, генерирующих все остальные выпуклые формы.
- Набор однородных антипризматических призм и множество однородных дуопризм.
- Семейство A4 имеет диплоидную пентахорическую симметрию порядка 120.
- Семейство B4 обладает диплоидной гексадекахорической симметрией порядка 384.
-
Подгруппы малых индексов
- Первые две подгруппы генерируют однородные 4-многогранники с симметрией [1+,4,3,3], [4,(3,3)+], и [4,3,3]+ порядка 192.
- Усечения тессерактов создают 16-клеточные и 24-клеточные структуры с симметрией [(3,3)+,4].
-
Семейство F4
- Обладает диплоидной икоситетрахорической симметрией [3,4,3] порядка 1152.
- Имеет три подгруппы малых индексов, порождающие однородные 4-многогранники порядка 576.
-
Семейство H4
- Обладает диплоидной гексакосихорической симметрией [5,3,3] порядка 14400.
- Имеет одну подгруппу [5,3,3]+ порядка 7200.
-
Семейство D4
- Обладает симметрией [31,1,1] порядка 192.
- Имеет подгруппу [31,1,1]+ порядка 96, создающую однородные 4-многогранники.
-
Великий антипризм
- Состоит из 20 пятиугольных антипризм и 300 тетраэдров.
- Имеет ионно-уменьшенную группу Кокстера [[10,2+,10] порядка 400.
-
Призматические однородные 4-многогранники
- Включают многогранные призмы и дуопризмы.
- Многогранные призмы имеют симметрию [3,3,2], [4,3,2], и [5,3,2].
- Дуопризмы имеют симметрию [p] × [q], где p и q – правильные многоугольники.
-
Неравномерные чередования
- Кокстер показал два единообразных решения для групп Кокстера ранга 4.
- Неоднородные чередующиеся фигуры могут быть построены как вершинно-транзитивные 4-многогранники.
-
Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихор Витгофа
- Включают шесть выпуклых правильных 4-многогранников.
- Остальные сорок могут быть получены из правильной полихоры с помощью операций усечения.
-
Описание конструкций с расширенной симметрией
- В таблице приведены 46 однородных полихор с полной расширенной симметрией и диаграммами Кокстера.
- Симметрия D4 создает дубликаты.
- Чередования сгруппированы по киральной симметрии.
- Snub с 24 ячейками и 3 конструкциями является единственной однородной.
- Числа в круглых скобках могут быть повторяющимися или неоднородными.
- Диаграммы Кокстера имеют нижние индексы от 1 до 46.
-
Однородная звездчатая полихора
- В 1852 году Людвиг Шлефли открыл четыре правильные звездчатые полихоры.
- В 1883 году Эдмунд Хесс нашел остальные шесть.
- Норман Джонсон описал три однородных антипризмоподобных звездчатых многогранника.
- Другие исследователи, включая Джонатана Бауэрса и Джорджа Ольшевского, обнаружили больше однородных звездных многогранников.
- В настоящее время известно 2127 однородных звездных многогранников.
-
Рекомендации
- Буль Стотт: Геометрический вывод полурегулярности из правильных многогранников и пространственных заполнений.
- Выпуклые многогранники Грюнбаума.
- Полурегулярные многогранники гиперпространств.
- Х.С.М. Кокстер, доктор медицины. Лонге-Хиггинс и Джей Си Пи. Миллер: Однородные многогранники.
- Х.С.М. Кокстер, Правильные многогранники.
- Х.С.М. Кокстер и У. O. J. Мозер: Генераторы и соотношения для дискретных групп.
- Джон Х. Конвей, Хайди Берджил, Хаим Гудман-Штраус: Симметрия вещей.
- Джон Х. Конвей и Эм Джей Ти. Парень: Четырехмерные архимедовы многогранники.
- Северо-ЗАПАД. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот.
- Северо-ЗАПАД. Джонсон: Геометрия и преобразования.
- Ричард Клитцинг: “Снобы”, “чередующиеся грани” и диаграммы Стотта-Кокстера-Дынкина.
-
Внешние ссылки
- Однородные выпуклые многогранники в четырех измерениях, Марко Меллер.
- Правильные и полурегулярные выпуклые многогранники краткий исторический обзор.
- Java3D-апплеты с исходными текстами.
- Униформа polychora от Джонатана Бауэрса.
- Stella4D Stella (программное обеспечение) создает интерактивные изображения однородных полихор.
- 4D-многогранники и их двойственные многогранники группы Кокстера W (A4), представленные в Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics.