Оглавление
- 1 Риманова связь на поверхности
- 1.1 Исторический обзор
- 1.2 Определение римановой связности
- 1.3 Ковариантная производная
- 1.4 Символы Кристоффеля
- 1.5 Оператор кривизны
- 1.6 Тензор кривизны Римана
- 1.7 Параллельный перенос
- 1.8 Параллельный перенос на геодезических
- 1.9 Параллельный перенос на кусочных кривых
- 1.10 Ортонормированный каркасный пучок
- 1.11 Основное соединение
- 1.12 Ковариантная производная и формы
- 1.13 Алгебра Ли и дуальные 1-формы
- 1.14 Распараллеливание и связность
- 1.15 Пространство p-форм и структурная группа
- 1.16 Связь и подъемники
- 1.17 Структурные уравнения Картана
- 1.18 Риманова геометрия и кривизна
- 1.19 Голономия и кривизна
- 1.20 Пример: 2-сфера
- 1.21 Векторные поля и формы
- 1.22 Уравнения Маурера-Картана
- 1.23 Подъем векторных полей
- 1.24 Параллельная транспортировка
- 1.25 Параллельный перенос в связке рам
- 1.26 Встроенные поверхности
- 1.27 Параллельный перенос и геодезическая кривизна
- 1.28 Уравнения Гаусса-Кодацци
- 1.29 Стили и форматирование
- 1.30 Значки и логотипы
- 1.31 Корпусные и внешние стили
- 1.32 Ошибки и маркеры
- 1.33 Библиографическое описание
- 1.34 Перевод и источники
- 1.35 Полный текст статьи:
- 2 Риманова связь на поверхности .
Риманова связь на поверхности
-
Исторический обзор
- Риманова связность была введена Леви-Чивитой, Картаном и Вейлем в начале XX века.
- Гаусс и Риман внесли значительный вклад в дифференциальную геометрию поверхностей.
- Кристоффель представил символы Кристоффеля в 1869 году.
-
Определение римановой связности
- Риманова связность определяется через преобразование векторных полей.
- В случае встроенной поверхности подъем описывается ортогональной проекцией.
- Уравнения геодезических могут быть записаны в терминах римановой связности.
-
Ковариантная производная
- Ковариантная производная определяется как оператор на векторном поле.
- Ковариантная производная удовлетворяет свойствам линейности, правила Лейбница, совместимости с метрикой и симметрии.
- Ковариантная производная однозначно определяется этими свойствами и называется римановой связностью.
-
Символы Кристоффеля
- Символы Кристоффеля могут быть получены из изометрических вложений.
- Формулы для ковариантной производной могут быть выражены через символы Кристоффеля.
-
Оператор кривизны
- Тензор кривизны Римана определяется через ковариантные производные.
- Гауссова кривизна в точке p не зависит от выбора базиса.
-
Тензор кривизны Римана
- Независимость K проверяется элементарными преобразованиями
- Кососопряженность оператора R(X,Y)
-
Параллельный перенос
- Параллельный перенос возможен вдоль кривых на поверхности
- Касательные плоскости вдоль кривой могут быть идентифицированы
- Уравнения Эйлера для геодезической
-
Параллельный перенос на геодезических
- Вектор в касательной плоскости перемещается по геодезической
- Кривизна геодезической определяет вращение векторов
- Параллельный перенос зависит только от метрической структуры
-
Параллельный перенос на кусочных кривых
- Параллельный перенос может быть расширен до кусочных кривых C1
- Ковариантная производная может быть восстановлена через параллельный перенос
-
Ортонормированный каркасный пучок
- Ориентация на поверхности определяет единичный вектор нормали
- Касательное расслоение и каркасный пучок
- Параллельный перенос кадров эквивалентен параллельному переносу касательных векторов
-
Основное соединение
- Теория связей основана на каркасном расслоении
- Векторные поля на M преобразуются в векторные поля на F
- Каноническая риманова метрика Сасаки
-
Ковариантная производная и формы
- Ковариантная производная определяется через параллельный перенос
- Связь на каркасном пучке описывается K-инвариантными дифференциальными 1-формами
-
Алгебра Ли и дуальные 1-формы
- Алгебра Ли легко понять, дуальные 1-формы имеют простую структуру.
- Структурные уравнения Картана описывают связь между 1-формами и структурной группой.
-
Распараллеливание и связность
- Любое ориентируемое компактное 3-многообразие распараллеливается.
- Для связок фреймов это следует из формализма матриц перехода.
-
Пространство p-форм и структурная группа
- Пространство p-форм на F обозначается Λp(F).
- Структурная группа K действует на Λp(F).
-
Связь и подъемники
- Связь на главном расслоении F соответствует подъему векторных полей на M.
- Подъемник X* является K-инвариантным и индуцирует X на M.
-
Структурные уравнения Картана
- На ортонормированном каркасном расслоении F существуют три канонические 1-формы.
- Эти 1-формы удовлетворяют структурным уравнениям Картана.
-
Риманова геометрия и кривизна
- На ориентированном римановом 2-многообразии существует уникальная связь ω.
- Гауссова кривизна K связана с ω.
-
Голономия и кривизна
- Голономия измеряет вращение векторов вокруг кривых.
- Кривизна связана с углом поворота векторов.
-
Пример: 2-сфера
- 2-сфера может быть идентифицирована с SO(3) и SU(2).
- SO(3) имеет уникальную биинвариантную риманову метрику.
- SU(2) диффеоморфно 3-сфере и имеет стандартную риманову метрику.
-
Векторные поля и формы
- Векторные поля λ(A), λ(B), λ(C) образуют базис касательного пространства в каждой точке G.
- Левоинвариантные векторные поля ρ(A), ρ(B), ρ(C) также образуют базис касательного пространства.
- α, β, γ — дуальный базис левоинвариантных 1-форм на G.
-
Уравнения Маурера-Картана
- Соотношения в скобках Ли подразумевают уравнения Маурера-Картана.
- Форма Маурера-Картана — левоинвариантная матричнозначная 1-форма на G.
-
Подъем векторных полей
- Подъем векторного поля Π(X) от C∞(G/K) до C∞(G) определяется формулой.
- Левая инвариантная 1-форма α — форма связи ω на G.
- Две другие 1-формы в структурных уравнениях Картана задаются как θ1 = β и θ2 = γ.
-
Параллельная транспортировка
- Вертикальные векторные поля на G имеют вид f · λ(A) с f в C∞(G).
- Горизонтальные векторные поля на G имеют вид f1 · λ(B) + f2 · λ(C) с fi в C∞(G).
- SO(3) распараллеливаемо, но SO(3) / SO(2) — нет.
-
Параллельный перенос в связке рам
- Параллельная транспортировка сводится к перемещению траектории от SO(3)/SO(2) к SO(3).
- Это достигается путем решения матричнозначного обыкновенного дифференциального уравнения.
-
Встроенные поверхности
- Отображение Гаусса из M → S2 распространяется на SO(2)-эквивариантное отображение между ортонормированными расслоениями фреймов E → I.
- Связь на SO(3) индуцирует связь на E.
-
Параллельный перенос и геодезическая кривизна
- Параллельный перенос вдоль кривой c(t) сводится к нахождению отображения v(t) от [0,1] до R3.
- Касательные пространства вдоль кривой c(t) канонически идентифицируются как внутренние пространства продукта.
-
Уравнения Гаусса-Кодацци
- Форма ω — откат одной из трех правоинвариантных форм Маурера-Картана на SO(3).
- 1-формы ψ и χ определены как обратные значения двух других форм.
- Эти 1-формы удовлетворяют структурным уравнениям.
-
Стили и форматирование
- Использование наследования шрифта и переноса слов
- Применение различных котировок и фоновых цветов
- Использование идентификаторов для различных типов блокировок
-
Значки и логотипы
- Использование значков и логотипов для различных типов блокировок
- Применение значков и логотипов для различных типов контента
-
Корпусные и внешние стили
- Применение различных стилей для различных типов корпусов
- Использование различных стилей для внешних элементов
-
Ошибки и маркеры
- Применение различных маркеров для ошибок и скрытых элементов
- Использование различных цветов для маркеров
-
Библиографическое описание
- Применение различных стилей для библиографического описания
- Использование различных шрифтов и размеров для различных типов контента
-
Перевод и источники
- Перевод с русского языка и предисловие
- Упоминание различных переводов и источников
- Полный текст книги и его доступность