Оглавление
- 1 Серия (математика)
- 1.1 Определение рядов
- 1.2 История и применение
- 1.3 Свойства рядов
- 1.4 Примеры рядов
- 1.5 Сходимость рядов
- 1.6 Группировка и перестановка членов
- 1.7 Операции с рядами
- 1.8 Скалярное умножение
- 1.9 Определение и свойства частичных сумм
- 1.10 Последовательное умножение рядов
- 1.11 Примеры числовых рядов
- 1.12 Неизвестные и сомнительные ряды
- 1.13 Тесты на сходимость
- 1.14 Примеры сходимости и расходимости
- 1.15 Общие тесты сравнения рядов
- 1.16 Тесты на сходимость рядов с неотрицательными членами
- 1.17 Интегральный критерий
- 1.18 Тест Коши на сжатие
- 1.19 Тесты на условную сходимость
- 1.20 Оценка ошибок усечения
- 1.21 Суммы расходящихся рядов
- 1.22 Ряд функций
- 1.23 Равномерная сходимость рядов
- 1.24 Степенные ряды
- 1.25 Формальные степенные ряды
- 1.26 Ряды Лорана
- 1.27 Ряды Дирихле
- 1.28 Тригонометрические ряды
- 1.29 Асимптотические ряды
- 1.30 История теории бесконечных рядов
- 1.31 Критерии сходимости
- 1.32 История критериев сходимости
- 1.33 Развитие теории степенных рядов
- 1.34 Методы и критерии сходимости
- 1.35 Равномерная сходимость
- 1.36 Полу-конвергенция
- 1.37 Ряды Фурье
- 1.38 Суммирование по общим наборам индексов
- 1.39 Абелевы топологические группы
- 1.40 Безусловная суммируемость
- 1.41 Безусловная сходимость рядов
- 1.42 Ряды в топологических векторных пространствах
- 1.43 Ряды в банаховом и полунормативном пространствах
- 1.44 Хорошо упорядоченные суммы
- 1.45 Примеры
- 1.46 Полный текст статьи:
- 2 Серия (математика)
Серия (математика)
-
Определение рядов
- Ряд — это бесконечная сумма, представленная как a0 + a1 + a2 + … или ∑k=0∞ak.
- Частичная сумма ряда — это сумма первых n членов, s_n = ∑k=0n ak.
- Ряд сходится, если существует предел частичных сумм, и расходится, если предел не существует.
-
История и применение
- Идея бесконечных рядов была известна древним грекам, но не была строго обоснована.
- В 17 веке Исаак Ньютон ввел концепцию предела, что позволило решить парадоксы Зенона.
- В 19 веке Карл Фридрих Гаусс и Огюстен-Луи Коши усовершенствовали теорию рядов.
-
Свойства рядов
- Ряды используются в различных областях математики, включая комбинаторику и физику.
- Ряды могут быть сходящимися или расходящимися, что определяется существованием предела частичных сумм.
- Сходящиеся ряды имеют конечные суммы, а расходящиеся — нет.
-
Примеры рядов
- Число Эйлера определяется как ∑n=0∞1/n!.
- Геометрический ряд 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^k + … сходится к 2.
- Арифметический ряд 1 + a + a^2 + … + an + … сходится к (n+1)(a + 1/2n).
-
Сходимость рядов
- Геометрический ряд сходится в расширенной строке действительных чисел.
- Ряд сходится, если его частичные суммы сходятся к одному и тому же пределу.
- Если ряд расходится, его частичные суммы могут сходиться к разным пределам.
-
Группировка и перестановка членов
- Группировка членов ряда не изменяет предел частичных сумм, если ряд сходится.
- Перестановка членов ряда может изменить предел частичных сумм, если ряд условно сходится.
-
Операции с рядами
- Сложение рядов: сумма двух рядов равна сумме их частичных сумм.
- Сложение сходящихся рядов дает сходящийся результат.
- Сложение расходящихся рядов может дать сходящийся результат, если один из рядов сходится.
-
Скалярное умножение
- Произведение ряда на скаляр равно сумме произведений членов ряда на скаляр.
- Скалярное умножение не изменяет предел частичных сумм, если ряд сходится.
-
Определение и свойства частичных сумм
- Частичные суммы ряда sca,n = cs,n для всех n.
- Если ряд сходится, то любое ненулевое скалярное кратное также сходится.
- Скалярное умножение ассоциативно, коммутативно и обратимо.
-
Последовательное умножение рядов
- Умножение двух рядов a0 + a1 + a2 + … и b0 + b1 + b2 + … дает третий ряд c0 + c1 + c2 + …
- Сходимость частных сумм ряда c0 + c1 + c2 + … установить сложнее, чем для сложения.
- Если оба ряда абсолютно сходящиеся, то их произведение также абсолютно сходится.
-
Примеры числовых рядов
- Геометрический ряд сходится при |r| < 1 и сходится к a1-r.
- Гармонический ряд расходится.
- Чередующийся ряд сходится к ln(2) или -π/4.
- Серия телескопических аппаратов сходится, если последовательность bn сходится к L.
- Арифметико-геометрический ряд сходится для p > 1 и расходится для p ≤ 1.
- Ряд Дирихле сходится для p > 1 и расходится для p ≤ 1.
- Гипергеометрический ряд и его обобщения часто появляются в интегрируемых системах.
-
Неизвестные и сомнительные ряды
- Неизвестно, сходится ли ряд Flint Hills.
- Сходимость ряда зависит от аппроксимации π рациональными числами.
-
Тесты на сходимость
- Условие сходимости: если limn→∞ an ≠ 0, ряд расходится.
- Тесты на абсолютную сходимость: если члены неотрицательны, ряд сходится, если частичные суммы ограничены.
-
Примеры сходимости и расходимости
- Ряд 1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n2 + … сходится и абсолютно сходится.
- Ряд 1/n3 + 1/sin2n расходится.
-
Общие тесты сравнения рядов
- Общий тест прямого сравнения: если |an| ≤ C|bn| для всех достаточно больших n, то |an| также абсолютно сходится.
- Общий критерий сравнения пределов: если |an+1/an| ≤ |bn+1/bn| для всех достаточно больших n, то |an| также абсолютно сходится.
-
Тесты на сходимость рядов с неотрицательными членами
- Проверка соотношения: если |an+1/an| < C для всех достаточно больших n, то |an| сходится абсолютно.
- Корневой тест: если |an|1/n ≤ C для всех достаточно больших n, то |an| сходится абсолютно.
-
Интегральный критерий
- Если f(x) — положительная монотонная убывающая функция на [1, ∞), то ряд с членами an = f(n) сходится тогда и только тогда, когда интеграл ∫1∞ f(x) dx конечен.
-
Тест Коши на сжатие
- Если последовательность a_n неотрицательна и не увеличивается, то ряды |an| и 2^k a_(2^k) либо сходятся, либо расходятся.
-
Тесты на условную сходимость
- Тест чередующихся рядов: ряд сходится, если a_n монотонно убывает и сходится к 0.
- Тест Дирихле: если a_n сходится к нулю и λn имеет ограниченную вариацию, то ряд λn a_n сходится.
- Тест Абеля: если частичные суммы рядов с членами b_n ограничены, λn имеет ограниченную вариацию и lim λn b_n существует, то ряд |an| сходится.
-
Оценка ошибок усечения
- Для чередующегося ряда: |S-sn| ≤ un+1.
- Для гипергеометрического ряда: оценка погрешности при усечении.
- Для экспоненциальной матрицы: оценка ошибок методом масштабирования и возведения в квадрат.
-
Суммы расходящихся рядов
- Методы суммирования включают суммирование по Чезаро, обобщенное Чезаро, суммирование по Абелю и суммирование по Борелю.
- Альтернативное семейство методов суммирования основано на аналитическом продолжении.
-
Ряд функций
- Ряд функций сходится поточечно, если частичные суммы сходятся к пределу для каждого x в E.
- Равномерная сходимость: максимум точечных ошибок при аппроксимации предела сходится к нулю с увеличением N.
-
Равномерная сходимость рядов
- Равномерная сходимость желательна для сохранения свойств членов ряда.
- Примеры: непрерывные функции, интегрируемые на замкнутом интервале.
- Тесты на равномерную сходимость: M-критерий Вейерштрасса, тест Абеля, тест Дини, критерий Коши.
-
Степенные ряды
- Степенной ряд: ∑n=0∞an(x-c)n.
- Ряд Тейлора: ∑n=0∞xn/n! сходится к e^x в начале координат.
- Сходимость равномерна на компактных подмножествах.
-
Формальные степенные ряды
- Используются в комбинаторике для описания последовательностей.
- Пример: ряд Гильберта–Пуанкаре.
- Формальные операции: сложение, умножение, производная, первообразный.
-
Ряды Лорана
- Обобщают степенные ряды, вводя члены с отрицательными и положительными показателями.
- Сходятся в кольцевом пространстве, равномерно на компактных подмножествах.
-
Ряды Дирихле
- ∑n=1∞anns, где s — комплексное число.
- Пример: дзета-функция Римана.
- Сходятся при действительной части s больше абсциссы сходимости.
-
Тригонометрические ряды
- Последовательность функций, члены которой являются тригонометрическими функциями.
- Пример: ряд Фурье функции.
-
Асимптотические ряды
- Бесконечные ряды, члены которых являются функциями последовательности различных асимптотических порядков.
- Полезны как последовательности приближений.
- Примеры: теория возмущений, анализ алгоритмов.
-
История теории бесконечных рядов
- Бесконечные ряды в древнегреческой философии движения.
- Архимед: первое суммирование бесконечного ряда.
- Математики из школы Кералы: изучение бесконечных рядов около 1350 года.
- Джеймс Грегори: работа над бесконечными рядами в 17 веке.
- Брук Тейлор: метод построения рядов Тейлора в 1715 году.
- Леонард Эйлер: теория гипергеометрических рядов и q-рядов в 18 веке.
-
Критерии сходимости
- Исследование обоснованности бесконечных рядов началось с Гаусса в 19 веке.
- Эйлер рассматривал гипергеометрический ряд, Гаусс установил критерии сходимости.
-
История критериев сходимости
- Коши (1821) ввел строгие критерии сходимости, показав, что результат двух сходящихся рядов не обязательно таков.
- Грегори (1668) ввел термины “конвергенция” и “дивергенция”.
- Эйлер и Гаусс предложили различные критерии, Маклорин предвосхитил открытия Коши.
-
Развитие теории степенных рядов
- Коши развил теорию степенных рядов, представив сложную функцию в виде суммы степеней.
- Абель (1826) исправил некоторые выводы Коши и дал научное суммирование рядов для комплексных значений.
-
Методы и критерии сходимости
- Методы Коши привели к созданию специальных критериев, таких как логарифмический тест Дюбуа-Реймона и Прингсхайма.
- Общие критерии появились у Куммера и были изучены Эйзенштейном, Вейерштрассом и другими.
-
Равномерная сходимость
- Теория равномерной сходимости была разработана Коши, но Абель указал на её ограничения.
- Зайдель и Стокс успешно развили эту теорию.
-
Полу-конвергенция
- Ряд называется полуконвергентным, если он конвергентный, но не абсолютно конвергентный.
- Пуассон и Якоби внесли значительный вклад в изучение полусходящихся рядов.
-
Ряды Фурье
- Исследовались ряды Фурье для физических соображений.
- Фурье поставил задачу расширить заданную функцию в терминах синусов и косинусов.
- Дирихле и другие внесли вклад в теорию тригонометрических рядов.
-
Суммирование по общим наборам индексов
- Определены бесконечные суммы по произвольному набору индексов.
- Семейства неотрицательных чисел могут быть суммированы по набору индексов.
-
Абелевы топологические группы
- Определены безусловно суммируемые семейства функций в абелевых топологических группах.
- Сумма безусловно суммируемого семейства является пределом конечных частичных сумм.
-
Безусловная суммируемость
- Существует конечное подмножество A0 такое, что для всех конечных надмножеств A1, A2 ⊇ A0, сумма a1 – a2 ∈ W.
- Если X является полным и (ai)i∈I безоговорочно суммируется, то для каждого подмножества J ⊆ I, соответствующее подсемейство (aj)j∈J также безоговорочно суммируется.
- Если сумма семейства неотрицательных чисел в расширенном смысле конечна, то она совпадает с суммой в топологической группе X = R.
- Если семья (ai)i∈I безоговорочно суммируется для каждой окрестности W о происхождении в X, существует конечное подмножество A0 ⊆ I такое, что ai ∈ W для каждого индекса i не в A0.
-
Безусловная сходимость рядов
- Если I = N и (an)n∈N безоговорочно суммируемо в хаусдорфовой абелевой топологической группе X, то ряд сходится и имеет одинаковую сумму.
- Безусловная сходимость нечувствительна к порядку суммирования.
- Если каждая перестановка ряда сходится, то ряд безусловно сходится.
- В полных пространствах безусловная сходимость эквивалентна сходимости всех подсерий.
-
Ряды в топологических векторных пространствах
- Если X является топологическим векторным пространством и (xi)i∈I суммируемо, то предел limA∈Конечный(I)xA существует в X.
- Абсолютно суммируемое семейство в X обязательно имеет счетную совокупность ненулевых элементов.
- В нормированных пространствах обычно рассматриваются ряды только со счетным числом членов.
-
Ряды в банаховом и полунормативном пространствах
- Понятие ряда может быть распространено на полунормированные пространства.
- Серия сходится к x в X, если последовательность частичных сумм сходится к x.
- В полунормированных пространствах абсолютная сходимость означает, что сумма |xi| < +∞, и все значения, кроме счетного числа, равны нулю.
-
Хорошо упорядоченные суммы
- Условно сходящийся ряд можно рассматривать для упорядоченного набора I.
- Если все ограничения существуют до α0, то ряд сходится.
-
Примеры
- Функция f: X → Y может быть определена как сумма функций f_a, где f_a(x) = 0 при x ≠ a и f(a) при x = a.
- Семейство функций локально конечно, что позволяет сохранять свойства регулярности при конечных суммах.
- Постоянная функция f: [0, ω1) → [0, ω1] удовлетворяет ∑α∈[0, ω1) f(α) = ω1 только при ограничении на все счетные частичные суммы.