Оглавление
Сходимость рядов Фурье
-
Основные понятия и теоремы
- Ряды Фурье – это разложение функций в ряд по синусам и косинусам.
- Теорема Дирихле утверждает, что если функция f непрерывна, то ее ряд Фурье сходится к f.
- Теорема Карлесона утверждает, что если f непрерывна и интегрируема, то ряд Фурье сходится равномерно к f.
-
Сходимость и рост частичных сумм
- Ряд Фурье сходится к функции f, если его частичные суммы сходятся к f.
- Ядро Дирихле имеет логарифмический порядок роста, что приводит к логарифмической оценке суммы гармоник.
- Для некоторых функций существуют примеры, где порядок роста ядра Дирихле меньше логарифмического.
-
Эквивалентность и обобщения
- Теорема Карлесона эквивалентна теореме Дирихле для непрерывных функций.
- Существуют обобщения теоремы Карлесона для нескольких измерений и других типов частичных сумм.
-
Примеры и контрпримеры
- Существуют примеры функций, для которых ряд Фурье сходится не к f, а к другому значению.
- Сергей Конягин построил функцию, для которой ряд Фурье расходится всюду.
-
Рекомендации и литература
- В статье приведены ссылки на учебники и статьи, которые углубляют понимание теории рядов Фурье.
Полный текст статьи: