Оглавление
- 1 Симметричное пространство
- 1.1 Определение симметричных пространств
- 1.2 Геометрическое определение
- 1.3 Алгебраическое определение
- 1.4 Теоретико-лиева характеристика
- 1.5 Классификация римановых симметричных пространств
- 1.6 Классификация римановых симметричных пространств
- 1.7 Классификация компактных и некомпактных пространств
- 1.8 Двойственность для римановых симметричных пространств
- 1.9 Классификация римановых симметричных пространств по Картану
- 1.10 Классификация римановых симметричных пространств по Huang & Leung
- 1.11 Псевдоримановы симметричные пространства
- 1.12 Классификация симметричных пространств
- 1.13 Слабо симметричные римановы пространства
- 1.14 Описание слабо симметричных пространств
- 1.15 Подъем метрического тензора
- 1.16 Разложение на множители
- 1.17 Классификация симметричных пространств
- 1.18 Эрмитовы симметричные пространства
- 1.19 Кватернионно-келеровы симметричные пространства
- 1.20 Теорема Ботта о периодичности
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Симметричное пространство
Симметричное пространство
-
Определение симметричных пространств
- Симметричное пространство — это риманово многообразие с инверсионной симметрией относительно каждой точки.
- Симметричные пространства встречаются в дифференциальной геометрии, теории представлений и гармоническом анализе.
- Полное односвязное риманово многообразие симметрично, если его тензор кривизны инвариантен при параллельном переносе.
-
Геометрическое определение
- Диффеоморфизм окрестности точки называется геодезической симметрией, если он фиксирует точку и переворачивает геодезические.
- Локально симметричное пространство называется глобально симметричным, если его геодезические симметрии изометричны.
- Локально римановы симметричные пространства могут быть построены как частные от римановых симметричных пространств.
-
Алгебраическое определение
- Симметричное пространство для группы Ли G — это однородное пространство G/H, где H — открытая подгруппа множества фиксированных точек инволюции σ.
- σ — автоморфизм G, фиксирующий единичный элемент и индуцирующий автоморфизм алгебры Ли g.
- Любое симметричное пространство является редуктивным однородным пространством.
-
Теоретико-лиева характеристика
- Если M — риманово симметричное пространство, то единичный компонент G группы изометрий M транзитивно действует на M.
- M диффеоморфно частному G/K, где K — группа изотропии действия G на M в точке p.
- K — компактная подгруппа ортогональной группы TpM.
-
Классификация римановых симметричных пространств
- Алгебраическое описание римановых симметричных пространств позволило Эли Картану получить их полную классификацию в 1926 году.
- Универсальное покрытие риманова симметричного пространства снова является риманово-симметричным.
-
Классификация римановых симметричных пространств
- Односвязное риманово симметричное пространство называется неприводимым, если оно не является произведением двух или более пространств.
- Любое односвязное риманово симметричное пространство является произведением неприводимых пространств.
- Неприводимые, односвязные римановы симметричные пространства делятся на евклидовы, компактные и некомпактные.
-
Классификация компактных и некомпактных пространств
- Компактные пространства имеют ранг, равный рангу группы Ли.
- Некомпактные пространства имеют ранг, равный рангу максимальной компактной подгруппы группы Ли.
- Примеры компактных пространств: SO(n), SU(n), Sp(n), E6, E7, E8, F4, G2.
- Примеры некомпактных пространств: вещественные простые группы Ли.
-
Двойственность для римановых симметричных пространств
- Существует соответствие между симметричными пространствами компактного и некомпактного типа.
- Это известно как двойственность для римановых симметричных пространств.
-
Классификация римановых симметричных пространств по Картану
- Картан классифицировал римановы симметричные пространства класса A и компактного типа.
- Существуют семь бесконечных рядов и двенадцать исключительных римановых симметричных пространств G/K.
-
Классификация римановых симметричных пространств по Huang & Leung
- Неприводимые компактные римановы симметричные пространства классифицируются как компактные простые группы Ли, грассманианы, лагранжевы грассманианы или двойные лагранжевы грассманианы.
- Неприводимые некомпактные римановы симметричные пространства также классифицируются.
-
Псевдоримановы симметричные пространства
- Псевдоримановы симметричные пространства обобщают римановы симметричные пространства.
- Важны в общей теории относительности, примеры: пространство Минковского, пространство Де Ситтера, анти-пространство Де Ситтера.
-
Классификация симметричных пространств
- Симметричные пространства G/H с алгеброй Ли g называются неприводимыми, если m является неприводимым представлением h.
- Неприводимые симметричные пространства могут быть классифицированы по дихотомии: плоские или полупростые.
- Полупростые симметричные пространства классифицируются по инволюциям σ алгебры Ли g.
-
Слабо симметричные римановы пространства
- Слабо симметричные римановы пространства определяются как римановы многообразия с транзитивной группой Ли изометрий и изометрией σ.
- Слабо симметричные пространства порождают пары Гельфанда и не имеют множественности в унитарном представлении.
-
Описание слабо симметричных пространств
- Слабо симметричные пространства классифицируются по периодическим автоморфизмам сложных полупростых алгебр Ли.
- Классификация основана на форме Киллинга, которая определяет метрику на касательном пространстве.
-
Подъем метрического тензора
- Метрический тензор на римановом многообразии можно преобразовать в скалярное произведение на G.
- Форма Киллинга используется для определения скалярного произведения.
-
Разложение на множители
- Касательное пространство может быть разложено на собственные пространства по форме Киллинга.
- Обобщенное транспонирование используется для факторизации касательного пространства.
-
Классификация симметричных пространств
- Классификация основана на том, определена ли форма Киллинга.
- Симметричные пространства делятся на эрмитовы и кватернионно-келеровы.
-
Эрмитовы симметричные пространства
- Оснащены параллельной комплексной структурой.
- Примеры: комплексные векторные и проективные пространства, комплексные единичные шары.
- Неприводимые симметричные пространства G / K являются эрмитовыми, если K содержит центральную окружность.
-
Кватернионно-келеровы симметричные пространства
- Оснащены параллельным подсоединением End (TM), изоморфным кватернионам.
- Неприводимые симметричные пространства G / K являются кватернионно-келеровыми, если представление изотропии K содержит слагаемое Sp (1).
-
Теорема Ботта о периодичности
- Петлевые пространства устойчивой ортогональной группы интерпретируются как редуктивные симметричные пространства.