Оглавление
- 1 Собственное разложение матрицы
- 1.1 Собственное разложение матрицы
- 1.2 Фундаментальная теория собственных векторов и значений
- 1.3 Собственное разложение матрицы
- 1.4 Пример разложения матрицы
- 1.5 Обратная матрица с помощью собственного разложения
- 1.6 Ортогональные матрицы и собственные значения
- 1.7 Практические последствия
- 1.8 Функциональное исчисление
- 1.9 Примеры
- 1.10 Декомпозиция для спектральных матриц
- 1.11 Нормальные матрицы
- 1.12 Вещественные симметричные матрицы
- 1.13 Диагонализируемые матрицы
- 1.14 Положительно определенные матрицы
- 1.15 Унитарные и эрмитовы матрицы
- 1.16 Полезные факты
- 1.17 Основные понятия собственных значений и векторов
- 1.18 Разложение на собственные значения
- 1.19 Обратная матрица
- 1.20 Численные вычисления собственных значений
- 1.21 Численное вычисление собственных векторов
- 1.22 Дополнительные темы
- 1.23 Матричный пучок
- 1.24 Обобщенная задача на собственные значения
- 1.25 Эрмитовы матрицы
- 1.26 Эрмитов определенный пучок
- 1.27 Дополнительные темы
- 1.28 Рекомендации
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Собственное разложение матрицы – Arc.Ask3.Ru
Собственное разложение матрицы
-
Собственное разложение матрицы
- Матрица A может быть разложена на собственные значения и векторы.
- Разложение возможно только для диагонализуемых матриц.
- Спектральное разложение используется для нормальных и вещественных симметричных матриц.
-
Фундаментальная теория собственных векторов и значений
- Собственные векторы удовлетворяют уравнению Av = λv.
- Собственные значения определяются характеристическим многочленом p(λ) = det(A – λI) = 0.
- Алгебраическая кратность ni и геометрическая кратность mi могут быть разными, но всегда mi ≤ ni.
-
Собственное разложение матрицы
- A = QΛQ-1, где Q – матрица из собственных векторов, Λ – диагональная матрица с собственными значениями.
- Разложение возможно только для нормальных матриц.
- Линейно независимые собственные векторы образуют базис для всех возможных произведений Ax.
-
Пример разложения матрицы
- Матрица A = [1 0 1 3] может быть разложена на диагональную матрицу.
- Разложение включает два одновременных уравнения для a и b.
- Решения уравнений дают собственные значения x и y, а также матрицу Q.
-
Обратная матрица с помощью собственного разложения
- Если A обратима, то её инверсия задается формулой A-1 = QΛ-1Q-1.
- Для симметричных матриц Q формируется из собственных векторов A.
-
Ортогональные матрицы и собственные значения
- Q является ортогональной матрицей, поэтому Q^-1 = Q^T.
- Λ является диагональной матрицей, обратная величина которой легко вычисляется.
-
Практические последствия
- Собственное разложение может быть менее корректным при использовании в реальных данных.
- Малые собственные значения могут оказывать чрезмерное влияние на инверсию.
- Предлагаются методы смягчения: усечение малых значений и распространение наименьшего надежного значения.
-
Функциональное исчисление
- Собственное разложение упрощает вычисление степенных рядов матриц.
- Функции Λ легко вычислить, так как они являются диагональными матрицами.
-
Примеры
- A^2 = QΛ^2Q^-1.
- A^n = QΛ^nQ^-1.
- exp(A) = Qexp(Λ)Q^-1.
-
Декомпозиция для спектральных матриц
- Спектральные матрицы могут быть полностью диагонализированы.
- Это позволяет получить фундаментальное представление о структуре матрицы.
-
Нормальные матрицы
- Комплекснозначная квадратная матрица A является нормальной, если она может быть разложена как A = UΛU^*.
- U является унитарной матрицей, Λ – диагональной матрицей.
-
Вещественные симметричные матрицы
- Собственные значения вещественных симметричных матриц являются вещественными.
- Собственные векторы могут быть выбраны вещественными и ортонормированными.
-
Диагонализируемые матрицы
- Диагонализируемые матрицы могут быть разложены с помощью собственного разложения при условии полного набора линейно независимых собственных векторов.
-
Положительно определенные матрицы
- Положительно определенные матрицы имеют все собственные значения положительными.
- Они могут быть разложены с помощью разложения Холецкого.
-
Унитарные и эрмитовы матрицы
- Унитарные матрицы удовлетворяют UU^* = I или UU^† = I.
- Эрмитовы матрицы удовлетворяют H = H^†.
-
Полезные факты
- Произведение собственных значений равно определителю.
- Сумма собственных значений равна следу.
-
Основные понятия собственных значений и векторов
- Собственные значения матрицы A равны сумме произведений алгебраических кратностей на собственные значения.
- Собственные значения A−1 равны обратным собственным значениям A.
- Собственные векторы A−1 совпадают с собственными векторами A.
- Собственные векторы определяются с точностью до мультипликативной константы.
-
Разложение на собственные значения
- A может быть разложено на собственные значения, если число линейно независимых собственных векторов равно размерности собственного вектора.
- Если поле скаляров алгебраически замкнуто и p(λ) не имеет повторяющихся корней, A может быть разложено на собственные составляющие.
-
Обратная матрица
- A может быть инвертировано, если все собственные значения отличны от нуля.
- Обратная величина задается формулой A−1 = QΛ−1Q−1.
-
Численные вычисления собственных значений
- Для больших матриц используются итеративные методы, такие как степенной метод.
- Степной метод сходится к собственному вектору, соответствующему наибольшему собственному значению.
- QR-алгоритм также основан на степенном методе.
-
Численное вычисление собственных векторов
- Собственные векторы могут быть вычислены путем решения уравнения (A − λI)v = 0.
- В практических методах собственные векторы вычисляются как побочный продукт вычисления собственных значений.
-
Дополнительные темы
- Обобщенные собственные пространства: геометрическая кратность меньше или равна алгебраической кратности.
- Сопряженный собственный вектор: вектор, передаваемый после преобразования в скалярное значение, кратное его сопряженному вектору.
- Обобщенная задача на собственные значения: нахождение вектора v, подчиняющегося уравнению Av = λBv.
-
Матричный пучок
- Набор матриц вида A − λB, где λ – комплексное число, называется пучком.
- Термин “матричный пучок” может также относиться к паре (A, B) матриц.
-
Обобщенная задача на собственные значения
- Если B обратимо, исходная задача может быть записана как B−1Av = λv, что является стандартной задачей на собственные значения.
- В большинстве ситуаций предпочтительнее решать обобщенную задачу на собственные значения.
-
Эрмитовы матрицы
- Если A и B симметричны или эрмитовы, а B положительно определена, собственные значения λi действительны.
- Собственные векторы v1 и v2 с различными собственными значениями B-ортогональны.
- Матрица P, определенная выше, удовлетворяет P∗BP = I или PP∗B = I, что означает существование базиса обобщенных собственных векторов.
-
Эрмитов определенный пучок
- Этот случай иногда называют эрмитовым определенным пучком или определенным карандашом.
-
Дополнительные темы
- Возмущение собственного значения
- Ковариант Фробениуса
- Трансформация домохозяина
- Нормальная форма Джордана
- Список матриц
- Матричная декомпозиция
- Разложение по сингулярным значениям
- Формула Сильвестра
-
Рекомендации
- Записи
- Рекомендации
- Внешние ссылки
- Интерактивная программа и учебное пособие по спектральной декомпозиции