Оглавление
Собственность Бэра
-
Определение почти открытого множества
- Подмножество A из топологического пространства X называется почти открытым, если существует открытое множество U такое, что A △ U скудно.
- A обладает свойством Бэра в ограниченном смысле, если для каждого подмножества E от X пересечение A ∩ E обладает свойством Бэра по отношению к E.
-
Свойства почти открытых множеств
- Семейство множеств, обладающих свойством Бэра, образует σ-алгебру.
- Дополнение почти открытого множества почти открыто, и любое счетное объединение или пересечение почти открытых множеств снова почти открыто.
- Каждое открытое множество почти открыто, так как пустое множество скудно.
-
Связь с играми Банаха-Мазура
- Если подмножество польского пространства обладает свойством Бэра, то определяется соответствующая ему игра Банаха-Мазура.
- Обратное неверно, но если каждая игра в данном классе набирает достаточное количество очков, то каждый набор в Γ находится в собственности Бэра.
- Из проективной детерминированности следует, что каждое проективное множество (в польском пространстве) обладает свойством Бэра.
-
Примеры и контрпримеры
- Из аксиомы выбора следует, что существуют множества вещественных чисел, не обладающих свойством Бэра.
- Набор Vitali не обладает свойством Baire.
- Теорема о булевом простом идеале подразумевает существование непринципиального ультрафильтра на множестве натуральных чисел, который индуцирует набор вещественных чисел без свойства Бэра.