Спектральная тройка
-
Определение спектральной тройки
- Спектральная тройка включает гильбертово пространство, алгебру операторов и неограниченный самосопряженный оператор.
- Оператор наделен дополнительными структурами, такими как градуировка и антилинейная инволюция.
-
Мотивация и примеры
- Пример: алгебра гладких функций на компактном спиновом многообразии.
- Оператор Дирака сохраняет метрику, а фазовая часть кодирует теоретико-индексную информацию.
-
Расширения теоремы об индексе
- Рассматриваются случаи, когда на многообразие воздействует группа или оно наделено слоистой структурой.
- Алгебраическая система функций больше не коммутативна, но можно найти пространство квадратных интегрируемых спиноров.
-
Типы спектральных троек
- Нечетная спектральная тройка: (A, H, D), где D удовлетворяет ‖[a, D]‖ < ∞.
- Четная спектральная тройка: (A, H, D, γ), где γ — самосопряженная унитарная на H.
- Конечно суммируемая спектральная тройка: a.D имеет компактную разрешающую способность.
- θ-суммируемая спектральная тройка: e−tD2 относится к классу трассировки.
-
Важные понятия
- Полярное разложение D = F | D|.
- Метрика Конна в пространстве состояний: d(φ, ψ) = sup{|φ(a) − ψ(a)|: a ∈ A, ‖[D, a]‖ ≤ 1}.
- Метрика Канторовича: k(μ, ν) = sup{|∫X fdμ − ∫X fdν|: f ∈ C(X), Lip(f) ≤ 1}.
-
Сопряжение с K-теорией
- Самосопряженный унитарный F дает отображение K-теории A на целые числа.
- В четном случае каждая проекция e в A разлагается как e0 ∈ e1, и e1Fe0 становится оператором Фредгольма.
-
Разложение F в собственном пространстве
- В нечетном случае разложение F в собственном пространстве дает оценку по H.
- Каждый обратимый элемент в A дает оператор Фредгольма (F + 1) u (F − 1) / 4 от (F − 1) H до (F + 1) H.
- u → Ind (F + 1) u (F − 1)/4 дает аддитивное отображение от K1(A) до Z.
-
Спектральная тройка и коциклы
- Когда спектральная тройка конечно суммируема, можно записать индексы, используя (супер) трассировку и произведение F, e (соответственно. u) и коммутатор F с e (соответственно. u).
- Это может быть закодировано как (p + 1)-функционал на A, удовлетворяющий некоторым алгебраическим условиям.
- Коциклы Хохшильда / циклических когомологий описывают вышеупомянутые отображения из K-теории в целые числа.