Спектральный радиус
-
Определение спектрального радиуса
- Спектральный радиус матрицы A — это максимум абсолютных значений её собственных значений.
- Спектральный радиус ограниченного линейного оператора — это максимум абсолютных значений элементов его спектра.
-
Свойства спектрального радиуса
- Спектральный радиус является нижней границей всех норм матрицы.
- Формула Гельфанда связывает спектральный радиус с пределом матричных норм.
-
Примеры и контрпримеры
- Спектральный радиус не всегда удовлетворяет неравенству ‖A v‖ ≤ ρ(A)‖v‖.
- Пример: матрица Cr с ρ(Cr) = 1, но ‖Cre1‖ = r‖e2‖.
-
Ограниченные линейные операторы
- Спектральный радиус ограниченного линейного оператора определяется как максимум абсолютных значений элементов спектра.
- Формула Гельфанда справедлива и для ограниченных линейных операторов.
-
Графики
- Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности.
- Для бесконечных графов с ограниченными степенями вершин спектральный радиус определяется как спектральный радиус оператора смежности.
-
Верхние границы спектрального радиуса
- Для матриц с согласованной матричной нормой существуют верхние границы спектрального радиуса.
- Для симметричных матриц спектральный радиус равен спектральной норме.
-
Последовательность включения
- Спектральный радиус связан с характером сходимости степенной последовательности матрицы.
- Если ρ(A) < 1, то limk→∞‖Ak‖ = 0.
- Если ρ(A) > 1, то limk→∞‖Ak‖ = ∞.
-
Формула Гельфанда
- Формула Гельфанда дает спектральный радиус как предел матричных норм.
- В случае согласованной матричной нормы формула Гельфанда дает верхнюю границу спектрального радиуса.