Оглавление
- 1 Набор модулей эллиптических кривых
- 1.1 Определение и свойства
- 1.2 Построение над комплексными числами
- 1.3 Эквивалентность кривых
- 1.4 Точки стекирования/орбифолда
- 1.5 Представляющие инволюции плоских кривых
- 1.6 Фундаментальная область и визуализация
- 1.7 Линейные узлы и модульные функции
- 1.8 Модульные формы и компактификация
- 1.9 Универсальные кривые
- 1.10 Универсальная кривая
- 1.11 SL2-действие на Z2
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Стек модулей эллиптических кривых
Набор модулей эллиптических кривых
-
Определение и свойства
- M1,1 — алгебраический стек над Spec(Z), классифицирующий эллиптические кривые.
- M1,1 не является схемой из-за автоморфизмов эллиптических кривых.
- Существует правильный морфизм M1,1 на аффинную прямую, заданную j-инвариантом.
-
Построение над комплексными числами
- Эллиптические кривые над C классифицируются по периодам.
- Интегральная гомология и голоморфная дифференциальная форма определяют интегральную решетку.
- Решетка может быть записана как Z ⊕ Z ⋅ τ, где τ — элемент верхней полуплоскости.
-
Эквивалентность кривых
- Эллиптические кривые, определяемые решеткой Z ⊕ Z ⋅ τ, изоморфны кривым, определяемым решеткой Z ⊕ Z ⋅ τ’.
- Модульное действие SL2(Z) задает изоморфизм кривых.
-
Точки стекирования/орбифолда
- Точки в M1,1 изоморфны B(Z/2), так как каждая эллиптическая кривая соответствует двойному покрытию P1.
- Особые точки соответствуют j-инвариантам 1728 и 0, где группы автоморфизмов имеют порядок 4 и 6 соответственно.
-
Представляющие инволюции плоских кривых
- Для j-инвариантного j ≠ 0,1728 существует Z/2-отправка инволюции.
- В частном случае кривой с комплексным умножением существует Z/4-отправка инволюции.
- Для a = 0 кривая y2 = x3 + b имеет Z/6-отправку инволюции.
-
Фундаментальная область и визуализация
- Фундаментальная область D содержит каждый класс изоморфизма эллиптических кривых.
- D может быть визуализирован как проективная кривая P1 с точкой, удаленной на бесконечность.
-
Линейные узлы и модульные функции
- Существуют линейные пучки L⊗k над M1,1, секции которых соответствуют модульным функциям на верхней полуплоскости.
- Модульные функции удовлетворяют условию f((abcd) ⋅ τ) = (cτ + d)kf(τ), где k — степень действия SL2(Z).
-
Модульные формы и компактификация
- Модульные формы могут быть расширены до компактификации L ⊗ k¯ → M¯1,1.
- Для уплотнения стека M1,1 добавляется точка на бесконечности через процесс склеивания.
-
Универсальные кривые
- Построение универсальных кривых E → M1,1 состоит из двух этапов: построение универсальной кривой Eh → h и проверка её на SL2(Z)-принятие мер по h.
- Объединение этих действий даёт стек частных [(SL2(Z) ⋉ Z2) ∖ C × h].
-
Универсальная кривая
- Каждая ранг 2 Z-решетка в C индуцирует каноническое Z2-принятие мер по C.
- Действие (m,n) на z ∈ C отправляет z к (m,n) ⋅ z ↦ z + m ⋅ 1 + n ⋅ τ.
- Индуцированное Z2-принятие мер по C × h (m,n) ⋅ (z, τ) ↦ (z + m ⋅ 1 + n ⋅ τ, τ).
-
SL2-действие на Z2
- Существует SL2(Z)-принятие мер по Z2, совместимое с действием на h.
- Действие задаётся матричным умножением справа: (m,n) ⋅ (a b c d) ↦ (am + cn, bm + dn).