Степень непрерывного отображения
-
Определение степени отображения
- Степень отображения — это число, представляющее количество раз, когда многообразие домена обтекает многообразие диапазона.
- Степень всегда является целым числом и может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориентации.
- Степень была впервые определена Брауэром и является гомотопически инвариантной.
-
Примеры и свойства
- Степень отображения из сферы в саму себя — это номер обмотки.
- Степень отображения между замкнутыми ориентированными многообразиями определяется через гомоморфизм.
- Степень гладкого отображения определяется через сохранение и изменение ориентации.
-
Интегрирование дифференциальных форм
- Интегрирование дифференциальных форм дает сопряжение между сингулярными гомологиями и когомологиями де Рама.
- Степень отображения может быть вычислена через интеграл по границе области.
-
Свойства степени
- Степень удовлетворяет свойствам, таким как существование прообраза и гомотопическая инвариантность.
- Степень является изоморфизмом между гомологическими группами и целыми числами.
- Теорема Хопфа утверждает, что два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда их степени равны.
-
Вычисление степени
- Существует алгоритм вычисления степени непрерывной функции из n-мерного прямоугольника в Rn.
- Реализация алгоритма доступна в программном средстве TopDeg.