Оглавление [Скрыть]
- 1 Сублинейная функция
- 1.1 Определение сублинейной функции
- 1.2 Свойства сублинейных функций
- 1.3 Примеры и достаточные условия
- 1.4 Свойства и следствия
- 1.5 Лемма о сублинейности Прайса
- 1.6 Ассоциированная полунорма
- 1.7 Отношение к линейным функционалам
- 1.8 Доминирование над линейным функционалом
- 1.9 Непрерывность
- 1.10 Отношение к функциям Минковского и открытым выпуклым множествам
- 1.11 Операторы
- 1.12 Определение информатики
- 1.13 Линейный функционал
- 1.14 Функционал Минковского
- 1.15 Норма (математика)
- 1.16 Полунорма
- 1.17 Супераддитивность
- 1.18 Записи
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Сублинейная функция
Сублинейная функция
-
Определение сублинейной функции
- Сублинейная функция (или банахов функционал) — вещественнозначная функция, обладающая свойствами полунормы.
- Функция не обязательно должна быть неотрицательной или абсолютно однородной.
- Сублинейные функции используются в функциональном анализе и информатике.
-
Свойства сублинейных функций
- Субаддитивность: p(rx) ≤ rp(x) для всех положительных r и x.
- Симметричность: p(-x) = p(x) для всех x.
- Положительность: p(x) ≥ 0 для всех x.
- Полунормальность: p(ux) ≤ p(x) для всех u и x.
-
Примеры и достаточные условия
- Каждый нормальный, полунормальный и вещественный линейный функционал является сублинейной функцией.
- Функция идентификации R → R является сублинейной, но не положительной или полунормальной.
- Каждая сублинейная функция имеет форму S_a,b, где a ≤ b.
- Если p и q сублинейные, то x → max{p(x), q(x)} также сублинейная.
-
Свойства и следствия
- Сублинейные функции выпуклы и положительно однородны.
- Субаддитивность гарантирует неравенство обратного треугольника.
- Субаддитивность и симметричность гарантируют постоянство значения на подпространстве.
- Если p полунорма, то p^ является канонической нормой для фактор-пространства.
-
Лемма о сублинейности Прайса
- Если p сублинейный функционал и K выпуклое подмножество, то для любого x и a, c существует z ∈ K такой, что p(x + az) + bc < inf_k p(x + ak + bk).
-
Ассоциированная полунорма
- Если p: X → R является вещественнозначной сублинейной функцией, то q(x) = max{p(x), p(-x)} определяет полунорму на X.
- Если p симметрична, то q(x) = max{p(x), p(-x)} также является полунормой.
-
Отношение к линейным функционалам
- p является линейным функционалом тогда и только тогда, когда p(x) + p(-x) ≤ 0 для всех x.
- Если p является положительной сублинейной функцией, то существует линейный функционал f, такой что f ≤ p.
-
Доминирование над линейным функционалом
- f доминирует над p, если f(x) ≤ p(x) для всех x.
- Если p полунормальна, то f ≤ p тогда и только тогда, когда |f| ≤ p.
-
Непрерывность
- f является непрерывным в начале координат тогда и только тогда, когда f равномерно непрерывна на X.
- Если f удовлетворяет f(0) = 0, то f является непрерывным тогда и только тогда, когда |f| является непрерывным.
- Если f неотрицательна, то f является непрерывной тогда и только тогда, когда {x ∈ X: f(x) < 1} открыт в X.
-
Отношение к функциям Минковского и открытым выпуклым множествам
- Функционал Минковского из выпуклой открытой окрестности начала координат является непрерывной неотрицательной сублинейной функцией.
- Открытые выпуклые подмножества X имеют форму z + {x ∈ X: p(x) < 1} для некоторых z и p.
-
Операторы
- Концепция может быть распространена на однородные и субаддитивные операторы.
-
Определение информатики
- Функция f: Z+ → R называется сублинейной, если limn→∞ f(n)/n = 0 или f(n) ∈ o(n).
- Формально, f(n) ∈ o(n) тогда и только тогда, когда для любого c > 0 существует N такое, что f(n) < cn для n ≥ N.
-
Линейный функционал
- Линейная карта из векторного пространства в его поле скалярных страниц
- Отображает краткое описание целей перенаправления
-
Функционал Минковского
- Функция, созданная на основе набора
-
Норма (математика)
- Длина в векторном пространстве
-
Полунорма
- Математическая функция
-
Супераддитивность
- Свойство функции
-
Записи
- Доказательства
- Рекомендации
- Библиография