Производный
-
Определение подпроизводных
- Подпроизводные обобщают производную на выпуклые функции.
- Множество подпроизводных в точке называется поддифференциалом.
- Подпроизводные возникают в выпуклом анализе и оптимизации.
-
Пример функции
- Функция абсолютного значения недифференцируема в нуле.
- Для любой точки можно провести линию, касающуюся графика функции или находящуюся под ним.
- Наклон этой линии называется производной.
-
Определение производной
- Производная от выпуклой функции в точке x0 — это действительное число c, такое что f(x) — f(x0) ≥ c(x — x0) для всех x ∈ I.
- Множество производных в x0 — это непустой замкнутый интервал [a, b], где a и b — односторонние пределы.
- Интервал [a, b] называется поддифференциалом функции f около x0 и обозначается ∂f(x0).
-
Свойства поддифференциала
- Выпуклая функция дифференцируема при x0 тогда и только тогда, когда субдифференциал содержит ровно одно производное.
- Точка x0 является глобальным минимумом функции f тогда и только тогда, когда в субдифференциале содержится ноль.
- Субдифференциал суммы выпуклых функций равен сумме их субдифференциалов.
-
Обобщение на функции нескольких переменных
- Субградиент в точке x0 — это вектор v, такой что для всех x ∈ U выполняется условие v(x) = f(x0) — f(x).
- Совокупность всех субградиентов в x0 называется субдифференциалом и обозначается ∂f(x0).
- Субдифференциал всегда является непустым выпуклым компактным множеством.
-
Обобщение на локально выпуклые пространства
- Функциональный v∗ в двойственном пространстве V∗ называется субградиентом при x0 в U, если для всех x ∈ U выполняется условие v∗(x) = f(x0) — f(x).
- Совокупность всех субградиентов в x0 называется субдифференциалом и снова обозначается ∂f(x0).
- Субдифференциал всегда является выпуклым замкнутым множеством, но может быть пустым.
-
История
- Субдифференциал для выпуклых функций введен Моро и Рокафеллар в начале 1960-х.
- Обобщенный субдифференциал для невыпуклых функций введен Кларком и Рокафеллар в начале 1980-х.